Enunciado: Calcule o valor das expressões a seguir, utilizando as propriedades da potenciação:
a) \( (27 \cdot 8)^{-\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{1}{6}} \)
b) \( 81^4 \cdot 81^{\frac{7}{4}} \cdot 81^{-\frac{1}{2}} \)
c) \( \left(8^{\frac{4}{3}}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{4} \)
d) \( \dfrac{7^{4,3} \cdot 7^{-2,6}}{7^{-0,3}} \)
e) \( \left(\dfrac{1}{625}\right)^{-\frac{1}{4}} \cdot \left(\dfrac{64}{125}\right)^{-\frac{1}{3}} \)
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a) \( 27 \cdot 8 = 216 = 6^3 \), então: \[ (6^3)^{-\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{1}{6}} = 6^{-1} \cdot 6^{\frac{1}{6}} = 6^{-\frac{5}{6}} \] Resultado: \( \boxed{6^{-\frac{5}{6}}} \)
b) Soma dos expoentes: \[ 4 + \frac{7}{4} – \frac{1}{2} = \frac{16}{4} + \frac{7}{4} – \frac{2}{4} = \frac{21}{4} \] Resultado: \( \boxed{81^{\frac{21}{4}}} = \boxed{243} \)
c) Potência de potência: \[ (8^{\frac{4}{3}})^{-\frac{1}{2}} = 8^{-\frac{4}{6}} = 8^{-\frac{2}{3}} \] Sabemos que \( 8 = 2^3 \), então: \[ 8^{-\frac{2}{3}} = (2^3)^{-\frac{2}{3}} = 2^{-2} = \frac{1}{4} \] Resultado: \( \boxed{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}} \)
d) Soma dos expoentes: \[ 7^{4,3 – 2,6 + 0,3} = 7^{2} = \boxed{49} \]
e) Primeiro fator: \[ \left(\frac{1}{625}\right)^{-\frac{1}{4}} = 625^{\frac{1}{4}} = 5 \] Segundo fator: \[ \left(\frac{64}{125}\right)^{-\frac{1}{3}} = \left(\frac{2^6}{5^3}\right)^{-\frac{1}{3}} = \left(\frac{2^2}{5}\right)^{-1} = \frac{5}{4} \] Resultado final: \[ 5 \cdot \frac{5}{4} = \boxed{\frac{25}{4}} \]
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