Questão 14 – PROFMAT 2025

Questão 14 – PROFMAT 2025
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Na figura, \(ABCD\) é um quadrado de lados medindo 3, e \(AE = BF = 2\). Determine a medida do segmento \(EG\).

Imagem da Questão 14

(A) 1

(B) \( \frac{4}{3} \)

(C) \( \frac{4}{5} \)

(D) \( \frac{6}{\sqrt{13}} \)

(E) \( \frac{4}{\sqrt{13}} \)

Solução Passo a Passo

1º Passo: Aplicando Pitágoras no triângulo \(DAE\):

\[ ED^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13 \implies ED = \sqrt{13} \]

2º Passo: Os triângulos \(DAE\) e \(ABF\) são congruentes (LAL), logo os ângulos correspondentes são congruentes.

3º Passo: Por semelhança de triângulos \(DAE \sim AGE\):

\[ \frac{EA}{EG} = \frac{ED}{EA} \implies \frac{2}{EG} = \frac{\sqrt{13}}{2} \]

4º Passo: Resolvendo para \(EG\):

\[ EG = \frac{4}{\sqrt{13}} \]

Resposta: Alternativa E.

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