Qual é o valor de \( x \) na equação:
$$ \frac{2^x + 2^{2x}}{2^{2x} – 1} = 2 $$
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🔎 Etapa 1 – Identificar termos semelhantes:
Sabemos que \( 2^{2x} = (2^x)^2 \). Vamos chamar \( y = 2^x \) para facilitar.
A equação se torna:
$$ \frac{y + y^2}{y^2 – 1} = 2 $$
🔎 Etapa 2 – Multiplicando cruzado:
$$ y + y^2 = 2(y^2 – 1) $$
$$ y + y^2 = 2y^2 – 2 $$
🔎 Etapa 3 – Passar todos os termos para um lado:
$$ y + y^2 – 2y^2 + 2 = 0 $$
$$ -y^2 + y + 2 = 0 \Rightarrow y^2 – y – 2 = 0 $$
🔎 Etapa 4 – Resolver a equação quadrática:
$$ y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} $$
$$ y = 2 \quad \text{ou} \quad y = -1 $$
Mas \( y = 2^x \) e uma potência de base positiva nunca pode ser negativa, então descartamos \( y = -1 \).
🔎 Etapa 5 – Voltar para \( x \):
Se \( 2^x = 2 \Rightarrow x = 1 \)
✅ Conclusão:
- \( \boxed{S = \{1\}} \)
