Questão 3 – PROFMAT 2025
Considere as seguintes afirmações falsas:
I – Para todo número real \( \alpha \), se \( \alpha^2 = 1 \) então \( \alpha = 1 \).
II – Para quaisquer números reais \( x \) e \( y \) tem-se que \( x > y \implies x^2 > y^2 \).
Assinale a alternativa que contém contraexemplos para cada uma delas.
I – Para todo número real \( \alpha \), se \( \alpha^2 = 1 \) então \( \alpha = 1 \).
II – Para quaisquer números reais \( x \) e \( y \) tem-se que \( x > y \implies x^2 > y^2 \).
Assinale a alternativa que contém contraexemplos para cada uma delas.
(A) \( \alpha = -\frac{1}{2}, x = 1, y = -2 \)
(B) \( \alpha = -1, x = -1, y = -2 \)
(C) \( \alpha = -\frac{1}{2}, x = -1, y = -2 \)
(D) \( \alpha = -1, x = 5, y = 2 \)
(E) \( \alpha = 1, x = -3, y = -5 \)
Solução Passo a Passo
1º Passo: Verificar se cada alternativa realmente gera um contraexemplo para I e II.
- Alternativa A e C: A premissa de I é falsa (\(\alpha^2 \neq 1\)), logo não servem como contraexemplo para I.
- Alternativa D: A conclusão de II é verdadeira, logo D não é contraexemplo para II.
- Alternativa E: A conclusão de I é verdadeira, logo E não é contraexemplo para I.
- Alternativa B: Em \(\alpha = -1\), \(\alpha^2 = 1\), mas \(\alpha \neq 1\) → contraexemplo de I.
Para \(x=-1\) e \(y=-2\), temos \(x>y\), mas \(x^2=1 < 4=y^2\) → contraexemplo de II.
Resposta: Alternativa B é o contraexemplo correto para I e II.
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"Artigo escrito por"
Adriano Rocha
Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.
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