Questão 35 – Equação Exponencial com Frações e Potências
Resolva a equação:
$$ \frac{9^{5x – 1}}{81^{2x – 3}} = \frac{27^{5 – 3x}}{3^{2x – 5}} $$
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🔎 Etapa 1 – Reescrevendo todas as potências com base 3:
- \( 9 = 3^2 \Rightarrow 9^{5x – 1} = (3^2)^{5x – 1} = 3^{10x – 2} \)
- \( 81 = 3^4 \Rightarrow 81^{2x – 3} = (3^4)^{2x – 3} = 3^{8x – 12} \)
- \( 27 = 3^3 \Rightarrow 27^{5 – 3x} = (3^3)^{5 – 3x} = 3^{15 – 9x} \)
🔎 Etapa 2 – Substituindo na equação:
$$ \frac{3^{10x – 2}}{3^{8x – 12}} = \frac{3^{15 – 9x}}{3^{2x – 5}} $$
🔎 Etapa 3 – Aplicando a regra da divisão (subtrair os expoentes):
- Lado esquerdo: \( 3^{10x – 2 – (8x – 12)} = 3^{2x + 10} \)
- Lado direito: \( 3^{15 – 9x – (2x – 5)} = 3^{15 – 9x – 2x + 5} = 3^{-11x + 20} \)
Temos agora:
$$ 3^{2x + 10} = 3^{-11x + 20} $$
🔎 Etapa 4 – Igualando os expoentes:
$$ 2x + 10 = -11x + 20 $$
$$ 13x = 10 \Rightarrow x = \dfrac{10}{13} $$
✅ Conclusão:
- \( \boxed{S = \left\{ \dfrac{10}{13} \right\}} \)
