Questão 43 – Inequação Exponencial com Soma de Potências
Enunciado: Determine os valores reais de \( x \) que verificam a inequação abaixo:
$$ 3^{x+1} + 3^{2+x} > 108 $$
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🔎 Etapa 1 – Reescrevendo os termos:
Sabemos que: $$ 3^{x+1} = 3 \cdot 3^x \quad \text{e} \quad 3^{2+x} = 9 \cdot 3^x $$
Substituindo na inequação:
$$ 3 \cdot 3^x + 9 \cdot 3^x > 108 $$
🔎 Etapa 2 – Colocando \( 3^x \) em evidência:
$$ (3 + 9) \cdot 3^x > 108 \Rightarrow 12 \cdot 3^x > 108 $$
🔎 Etapa 3 – Isolando \( 3^x \):
$$ 3^x > \dfrac{108}{12} = 9 $$
🔎 Etapa 4 – Comparando com a mesma base:
Como \( 9 = 3^2 \), temos: $$ 3^x > 3^2 \Rightarrow x > 2 $$
✅ Conclusão:
- Conjunto solução: \( \boxed{S = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 2\}} \)
