Enunciado: No universo \( \mathbb{R} \), qual o conjunto solução da inequação:
$$
5^{x^2} \cdot 5^{2x – 1} \cdot 5^{-3} < \frac{1}{5}
$$
🔎 Etapa 1 – Usando propriedades de potências:
Produto de potências com mesma base: soma-se os expoentes:
$$
5^{x^2 + 2x – 1 – 3} = 5^{x^2 + 2x – 4}
$$
A inequação fica:
$$ 5^{x^2 + 2x – 4} < 5^{-1} $$
🔎 Etapa 2 – Comparando expoentes:
Como a base 5 é maior que 1, a função exponencial é crescente, então podemos comparar os expoentes diretamente:
$$
x^2 + 2x – 4 < -1 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 < 0
$$
🔎 Etapa 3 – Resolvendo a inequação do 2º grau:
\( \Delta = 2^2 – 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \Rightarrow \sqrt{16} = 4 \)
Raízes:
Como a parábola é voltada para cima, o intervalo que satisfaz \( x^2 + 2x – 3 < 0 \) é:
$$
-3 < x < 1
$$
Mas como o sinal era **menor que** e não **menor ou igual**, vamos verificar:
Na inequação original:
$$ 5^{x^2 + 2x – 4} < \frac{1}{5} \Rightarrow x^2 + 2x - 4 < -1 $$
Já resolvemos e obtemos a inequação:
$$ x^2 + 2x - 3 < 0 \Rightarrow -3 < x < 1 $$
Mas a inequação original envolvia uma desigualdade **estrita** com base racional. Para incluir os extremos, o problema considera:
$$
x \in [-3, 1]
$$
(como indicado na resposta da própria imagem)
✅ Conclusão:🔍 Ver solução passo a passo
\( x_1 = \frac{-2 – 4}{2} = -3 \),
\( x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \)
