Questão 9. (Unemat-MT) Certa substância se desintegra obedecendo à seguinte expressão:
$$ Q(t) = k \cdot 2^{-0{,}5t} $$
em que \( t \) é o tempo (em horas), \( k \) é uma constante real e \( Q(t) \) é a quantidade da substância (em gramas), no tempo \( t \).
Considerando que no instante inicial \( t = 0 \), a quantidade de substância é 800 g, assinale a alternativa que corresponde ao tempo necessário para que a quantidade dessa substância esteja reduzida a 25% do seu valor inicial.
- a) 2 h
- b) 4 h
- c) 6 h
- d) 8 h
- e) 10 h
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Explicação passo a passo:
Inicialmente, a quantidade da substância é 800 g. Queremos descobrir em quanto tempo ela se reduz a 25% disso, ou seja:
$$ Q(t) = 0{,}25 \cdot 800 = 200 $$
Substituímos na equação:
$$ 200 = 800 \cdot 2^{-0{,}5t} $$
Dividindo os dois lados por 800:
$$ \frac{200}{800} = 2^{-0{,}5t} \Rightarrow 0{,}25 = 2^{-0{,}5t} $$
Sabemos que \( 0{,}25 = \frac{1}{4} = 2^{-2} \), então:
$$ 2^{-0{,}5t} = 2^{-2} \Rightarrow -0{,}5t = -2 \Rightarrow t = 4 $$
Portanto, o tempo necessário é: 4 horas.
Alternativa correta: b)
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