🧮 Racionalização de Denominadores: Casos, Fórmulas e Exemplos Resolvidos
A racionalização de denominadores é uma técnica fundamental da álgebra que permite eliminar raízes presentes no denominador de uma fração. Esse procedimento é amplamente cobrado em provas do ENEM, vestibulares e concursos públicos.
Ao longo deste artigo, você aprenderá os três principais casos de racionalização, com explicações passo a passo, exemplos resolvidos e exercícios. Confira também a tabela-resumo ao final.
🔹 O que é Racionalizar o Denominador?
Racionalizar significa tornar racional o denominador de uma fração, ou seja, eliminar radicais (raízes) dele. Isso é feito multiplicando numerador e denominador por um fator adequado.
🔸 Caso 1 — Raiz Quadrada no Denominador
Quando o denominador contém uma raiz quadrada simples:
Exemplo:
$$\frac{3}{\sqrt{5}}$$
= $$\frac{3\sqrt{5}}{5}$$
🔸 Caso 2 — Raiz Enésima
Quando o denominador contém uma raiz cúbica, quarta ou de outro índice, multiplica-se por um fator que complete o expoente.
Exemplo:
$$\frac{3}{\sqrt[3]{2}}$$
= $$\frac{3\sqrt[3]{2^2}}{2}$$
= $$\frac{3\sqrt[3]{4}}{2}$$
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Baixar eBook gratuito🔸 Caso 3 — Denominador com Soma ou Diferença de Raízes
Quando o denominador tem uma soma ou diferença de raízes, usa-se o conjugado (mesmo binômio com o sinal trocado).
Exemplo:
$$\frac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$$
= $$\frac{2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{3-2}$$
= $$2\sqrt{3}+2\sqrt{2}$$
📊 Tabela Resumo
| Caso | Condição | Fator usado | Resultado |
|---|---|---|---|
| 1 | $$\frac{a}{\sqrt{b}}$$ | $$\sqrt{b}$$ | $$\frac{a\sqrt{b}}{b}$$ |
| 2 | $$\frac{a}{\sqrt[n]{b^m}}$$ | $$\sqrt[n]{b^{n-m}}$$ | $$\frac{a\sqrt[n]{b^{n-m}}}{b}$$ |
| 3 | $$\frac{a}{\sqrt{b}\pm\sqrt{c}}$$ | $$\sqrt{b}\mp\sqrt{c}$$ | $$\frac{a(\sqrt{b}\mp\sqrt{c})}{b-c}$$ |
✏️ Exercícios Resolvidos
Exemplo 1 — Questão Discursiva
Racionalize o denominador de:
= $$\frac{5}{2\sqrt{2}}$$
= $$\frac{5\sqrt{2}}{4}$$
Exemplo 2 — Questão de Múltipla Escolha
Racionalize:
= $$\frac{3(\sqrt{2}+1)}{2-1}$$
= $$3(\sqrt{2}+1)$$
Alternativa correta: D) \(3(\sqrt{2}+1)\)
Exemplo 3 — Raiz Enésima
Racionalize o denominador:
= $$\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$$
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📘 Conclusão
A racionalização de denominadores é uma técnica essencial para simplificar expressões com radicais. Conhecer os três casos principais e praticar com exemplos variados ajuda a dominar o tema e a resolver questões com confiança.
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