Racionalização — Fórmulas e Exemplos Resolvidos
Racionalizar é transformar expressões que possuem radicais no denominador em formas equivalentes com denominadores sem radicais, usando conjugados e propriedades de potências. Para revisar a base teórica, veja Radiciação.
Dica: racionalizar não muda o valor da fração, pois multiplicamos por 1
na forma conveniente (conjugado ou potência adequada).
Caso A — Denominador com um radical \(\sqrt{a}\)
Fórmula
\[
\frac{k}{\sqrt{a}}
= \frac{k}{\sqrt{a}}\cdot\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}
= \frac{k\sqrt{a}}{a}\quad (a>0)
\]
- Exemplo 1. \(\dfrac{5}{\sqrt{20}}\)
Solução
\(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\Rightarrow \dfrac{5}{2\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} =\dfrac{\sqrt{5}}{2}\).Resposta: \(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)
- Exemplo 2. \(\dfrac{7}{3\sqrt{2}}\)
Solução
\(\dfrac{7}{3\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{7\sqrt{2}}{6}\).Resposta: \(\dfrac{7\sqrt{2}}{6}\)
Caso B — Binômio com raízes \(\sqrt{a}\pm\sqrt{b}\)
Fórmula
\[
\frac{1}{\sqrt{a}\pm\sqrt{b}}\cdot
\frac{\sqrt{a}\mp\sqrt{b}}{\sqrt{a}\mp\sqrt{b}}
= \frac{\sqrt{a}\mp\sqrt{b}}{a-b}\quad (a\ne b>0)
\]
- Exemplo 1. \(\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\)
Solução
\(\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} =\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3}=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}\).Resposta: \(\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}\)
- Exemplo 2. \(\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\)
Solução
Multiplicando pelo conjugado: \(\dfrac{\sqrt{6}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2} =\sqrt{18}+\sqrt{12}=3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\).Resposta: \(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\)
Caso C — Termo real \(\,a\,\) com raiz: \(a\pm\sqrt{b}\)
Fórmula
\[
\frac{1}{a\pm\sqrt{b}}\cdot\frac{a\mp\sqrt{b}}{a\mp\sqrt{b}}
= \frac{a\mp\sqrt{b}}{a^2-b}\quad (a^2\ne b)
\]
- Exemplo 1. \(\dfrac{1}{2-\sqrt{5}}\)
Solução
\(\dfrac{1}{2-\sqrt{5}}\cdot\dfrac{2+\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=\dfrac{2+\sqrt{5}}{4-5}=-(2+\sqrt{5})\).Resposta: \(-2-\sqrt{5}\)
- Exemplo 2. \(\dfrac{3}{1+\sqrt{2}}\)
Solução
\(\dfrac{3}{1+\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} =\dfrac{3(1-\sqrt{2})}{1-2}=3(\sqrt{2}-1)\).Resposta: \(3(\sqrt{2}-1)\)
Caso D — Radicais de índice \(n\): \(\sqrt[n]{x^m}\)
Fórmula
\[
\frac{1}{\sqrt[n]{x^m}}
= \frac{\sqrt[n]{x^{\,n-m}}}{x} \quad (x>0)
\]
- Exemplo 1. \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\)
Solução
\(\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\cdot\dfrac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}}=\dfrac{\sqrt[3]{4}}{2}\).Resposta: \(\dfrac{\sqrt[3]{4}}{2}\)
- Exemplo 2. \(\dfrac{1}{\sqrt[4]{3^{3}}}\)
Solução
\(\dfrac{1}{\sqrt[4]{3^{3}}}\cdot\dfrac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3}}=\dfrac{\sqrt[4]{3}}{3}\).Resposta: \(\dfrac{\sqrt[4]{3}}{3}\)
Caso E — Soma de raízes cúbicas \(\;\sqrt[3]{u}+\sqrt[3]{v}\)
Fórmula
\[
\frac{1}{a+b}\cdot\frac{a^2-ab+b^2}{a^2-ab+b^2}
=\frac{a^2-ab+b^2}{a^3+b^3}
=\frac{a^2-ab+b^2}{u+v}
\]
\(\text{onde } a=\sqrt[3]{u},\ b=\sqrt[3]{v}\ \text{e}\ (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3.\)
- Exemplo 1. \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{24}}\)
Solução
Defina \(a=\sqrt[3]{3}\) e \(b=\sqrt[3]{24}=2\sqrt[3]{3}\). Então \(a^3+b^3=3+24=27\). Além disso, \(a^2=\sqrt[3]{9}\), \(ab=2\sqrt[3]{9}\) e \(b^2=4\sqrt[3]{9}\). Logo \(a^2-ab+b^2= \sqrt[3]{9}-2\sqrt[3]{9}+4\sqrt[3]{9}=3\sqrt[3]{9}\). Assim, \[ \frac{1}{\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{24}} =\frac{a^2-ab+b^2}{a^3+b^3} =\frac{3\sqrt[3]{9}}{27} =\frac{\sqrt[3]{9}}{9}. \]Resposta: \(\dfrac{\sqrt[3]{9}}{9}\)
- Exemplo 2. \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{16}}\)
Solução
Tome \(a=\sqrt[3]{2}\) e \(b=\sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2}\). Então \(a^3+b^3=2+16=18\) e \(a^2-ab+b^2= \sqrt[3]{4}-2\sqrt[3]{4}+4\sqrt[3]{4}=3\sqrt[3]{4}\). Logo, \[ \frac{1}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{16}} =\frac{3\sqrt[3]{4}}{18} =\frac{\sqrt[3]{4}}{6}. \]Resposta: \(\dfrac{\sqrt[3]{4}}{6}\)
Quiz de Racionalização
Acertos: 0/12- Racionalize: \( \dfrac{5}{\sqrt{20}} \)
Solução
\(\sqrt{20}=2\sqrt5\Rightarrow \dfrac{5}{2\sqrt5}\cdot\dfrac{\sqrt5}{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{2}\). - Racionalize: \( \dfrac{3}{\sqrt{2}+1} \)
Solução
Multiplique por \(\dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1}\): \(\dfrac{3(\sqrt2-1)}{2-1}=3(\sqrt2-1)\). - Racionalize: \( \dfrac{4}{2\sqrt{3}} \)
Solução
\(\dfrac{4}{2\sqrt3}=\dfrac{2}{\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt3}{3}\). - Racionalize: \( \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \)
Solução
Conjugado: \(\cdot\dfrac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}\Rightarrow \sqrt{18}+\sqrt{12}=3\sqrt2+2\sqrt3\). - Racionalize: \( \dfrac{1}{2-\sqrt{5}} \)
Solução
\(\dfrac{1}{2-\sqrt5}\cdot\dfrac{2+\sqrt5}{2+\sqrt5}=\dfrac{2+\sqrt5}{4-5}=-(2+\sqrt5)\). - Racionalize: \( \dfrac{7\sqrt{2}}{3\sqrt{5}} \)
Solução
\(\cdot\dfrac{\sqrt5}{\sqrt5}\Rightarrow \dfrac{7\sqrt{10}}{15}\). - Racionalize: \( \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \)
Solução
\(\cdot\dfrac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}\Rightarrow\dfrac{(\sqrt3+\sqrt2)^2}{3-2}=5+2\sqrt6\). - Racionalize: \( \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}} \)
Solução
\(\cdot\dfrac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}}=\dfrac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}}=\dfrac{\sqrt[3]{4}}{2}\). - Racionalize: \( \dfrac{1}{\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{24}} \)
Solução
\(b=\sqrt[3]{24}=2\sqrt[3]{3}\Rightarrow a^3+b^3=27,\ a^2-ab+b^2=3\sqrt[3]{9}\). Logo \(\dfrac{1}{a+b}=\dfrac{a^2-ab+b^2}{a^3+b^3}=\dfrac{3\sqrt[3]{9}}{27}=\dfrac{\sqrt[3]{9}}{9}\). - Racionalize: \( \dfrac{5}{\sqrt{3}-1} \)
Solução
\(\cdot\dfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3+1}=\dfrac{5(\sqrt3+1)}{3-1}=\dfrac{5}{2}(\sqrt3+1)\). - Racionalize: \( \dfrac{3\sqrt{6}}{2\sqrt{3}-\sqrt{2}} \)
Solução
Conjugado: denom \(=(2\sqrt3)^2-(\sqrt2)^2=12-2=10\).
Num \(=3\sqrt6(2\sqrt3+\sqrt2)=6\sqrt{18}+3\sqrt{12}=18\sqrt2+6\sqrt3\).
\(\Rightarrow \dfrac{18\sqrt2+6\sqrt3}{10}=\dfrac{9\sqrt2+3\sqrt3}{5}\). - Racionalize: \( \dfrac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \)
Solução
\(\cdot\dfrac{\sqrt7-\sqrt5}{\sqrt7-\sqrt5}=\dfrac{2(\sqrt7-\sqrt5)}{7-5}=\sqrt7-\sqrt5\).
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