Radiciação — Guia Completo (propriedades, exemplos e exercícios)
A radiciação é a operação inversa da potenciação. Dizemos que \( \sqrt[n]{a}=b \) quando \( b^n=a \). Em expressões numéricas, dominar a simplificação, a racionalização e a equivalência com expoentes fracionários faz toda a diferença. Para revisar potenciação, veja Potenciação, e para o estudo conjunto, confira Expressões com Potenciação e Radiciação.
Ordem de prioridade (resumo): Agrupamentos \((\,)\), \([\ ]\), \(\{\ \}\) →
potenciação e radiciação → multiplicação/divisão → soma/subtração.
Quadro-Resumo: Propriedades da Radiciação
| Propriedade | Regra | Exemplo |
|---|---|---|
| Definição | \( \sqrt[n]{a}=b \iff b^n=a \) | \( \sqrt[3]{27}=3 \) |
| Relação com expoentes | \( a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m \) | \( 27^{2/3}=(\sqrt[3]{27})^2=9 \) |
| Produto sob o radical | \( \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b} \) | \( \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2} \) |
| Quociente sob o radical | \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\ (b>0) \) | \( \sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2} \) |
| Raiz de raiz | \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a} \) | \( \sqrt[3]{\sqrt[4]{16}}=\sqrt[12]{16}=2^{1/3} \) |
| Extração de potência | Se \(a\ge0\): \( \sqrt[n]{a^{kn}b}=a^k\sqrt[n]{b} \) | \( \sqrt{50}=5\sqrt{2} \) |
| Índice par × ímpar | Índice par: \(a\ge0\). Ímpar: admite negativos. | \( \sqrt{-9}\) não é real; \( \sqrt[3]{-8}=-2 \) |
| Racionalização simples | Multiplicar por \( \frac{\sqrt[n]{b}}{\sqrt[n]{b}} \) | \( \frac{5}{\sqrt{20}}=\frac{\sqrt{5}}{2} \) |
| Racionalização (conjugado) | Usar \( (a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})=a^2-b \) | \( \frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\sqrt{5}+\sqrt{2} \) |
Dica: só é possível somar/subtrair radicais quando têm mesmo
índice e mesmo radicando. Ex.: \(3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}\), mas
\( \sqrt{2}+\sqrt{3} \) não se simplifica.
Exemplos Resolvidos
- Questão 1. \( \sqrt{72}-2\sqrt{18}+3\sqrt{8} \)
Solução
\( \sqrt{72}=6\sqrt{2},\ \sqrt{18}=3\sqrt{2},\ \sqrt{8}=2\sqrt{2} \Rightarrow 6\sqrt{2}-2\cdot3\sqrt{2}+3\cdot2\sqrt{2}=6\sqrt{2}.\)Resposta: \(6\sqrt{2}\)
- Questão 2. \( \sqrt[3]{-27}+\sqrt[3]{64}-\sqrt[3]{\tfrac{1}{8}} \)
Solução
\( -3+4-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}\).Resposta: \(\tfrac{1}{2}\)
- Questão 3. Racionalize \( \dfrac{5}{\sqrt{20}} \)
Solução
\( \sqrt{20}=2\sqrt{5}\Rightarrow \frac{5}{2\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2} \).Resposta: \(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)
- Questão 4. Racionalize \( \dfrac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \)
Solução
\( \frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} =\frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2}=\sqrt{5}+\sqrt{2}\).Resposta: \(\sqrt{5}+\sqrt{2}\)
- Questão 5. \( \dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt[3]{32}}{\sqrt[3]{4}}-\sqrt{0{,}81} \)
Solução
\( \sqrt{50}/\sqrt{2}=\sqrt{25}=5;\ \ \sqrt[3]{32}/\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{8}=2;\ \ \sqrt{0{,}81}=0{,}9.\)\( 5+2-0{,}9=6{,}1=\tfrac{61}{10}\).Resposta: \(\tfrac{61}{10}\)
🧠 Exercícios Propostos (Radiciação)
Resolva e confira no gabarito interativo abaixo.
- \( \sqrt{48}+\sqrt{27}-\sqrt{75} \)
- \( \sqrt[3]{216}-\sqrt[3]{-8}+\sqrt[3]{\tfrac{1}{27}} \)
- Racionalize: \( \dfrac{7}{3\sqrt{5}} \)
- Racionalize: \( \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \)
- Simplifique: \( \sqrt{\dfrac{18}{8}} \)
- \( \sqrt{49}+\sqrt[3]{-125}+\sqrt{\tfrac{1}{16}} \)
- Some radicais semelhantes: \( 5\sqrt{2}-2\sqrt{8}+\sqrt{18} \)
- Calcule: \( \sqrt[3]{\sqrt[4]{16}} \)
- Escreva como potência: \( \sqrt[5]{32^{3}} \)
- Racionalize: \( \dfrac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \)
- Simplifique: \( \sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2} \)
- Calcule: \( \sqrt[6]{64}\cdot\sqrt[3]{8} \)
📘 Gabarito com Soluções Passo a Passo
1)
\( \sqrt{48}=4\sqrt{3},\ \sqrt{27}=3\sqrt{3},\ \sqrt{75}=5\sqrt{3} \Rightarrow 4\sqrt{3}+3\sqrt{3}-5\sqrt{3}=2\sqrt{3} \).
Resposta: \(2\sqrt{3}\)
2)
\( \sqrt[3]{216}=6, \ \sqrt[3]{-8}=-2, \ \sqrt[3]{1/27}=1/3 \Rightarrow 6-(-2)+1/3=8+\tfrac{1}{3}=\tfrac{25}{3}\).
Resposta: \(\tfrac{25}{3}\)
3)
\( \dfrac{7}{3\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{7\sqrt{5}}{15}\).
Resposta: \(\dfrac{7\sqrt{5}}{15}\)
4)
\( \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}
=\dfrac{3+\sqrt{6}}{1}=3+\sqrt{6}\).
Resposta: \(3+\sqrt{6}\)
5)
\( \sqrt{18/8}=\sqrt{9/4}=\tfrac{3}{2}\).
Resposta: \(\tfrac{3}{2}\)
6)
\( 7+(-5)+\tfrac{1}{4}=2+\tfrac{1}{4}=\tfrac{9}{4}\).
Resposta: \(\tfrac{9}{4}\) (2,25)
7)
\( \sqrt{8}=2\sqrt{2},\ \sqrt{18}=3\sqrt{2}\Rightarrow
5\sqrt{2}-2(2\sqrt{2})+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}\).
Resposta: \(4\sqrt{2}\)
8)
\( \sqrt[3]{\sqrt[4]{16}}=\sqrt[12]{16}=(2^4)^{1/12}=2^{1/3}=\sqrt[3]{2}\).
Resposta: \(\sqrt[3]{2}\)
9)
\( \sqrt[5]{32^3}=32^{3/5}=(2^5)^{3/5}=2^3=8\).
Resposta: 8
10)
\( \dfrac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}
=\dfrac{2(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{7-5}=\sqrt{7}-\sqrt{5}\).
Resposta: \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\)
11)
\( \sqrt[3]{54}= \sqrt[3]{27\cdot2}=3\sqrt[3]{2}\Rightarrow 3\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}\).
Resposta: \(2\sqrt[3]{2}\)
12)
\( \sqrt[6]{64}=2,\ \sqrt[3]{8}=2 \Rightarrow 2\cdot2=4\).
Resposta: 4
🔗 Leia também
Quiz de Radiciação
Acertos: 0/12- \( \sqrt{48}+\sqrt{27}-\sqrt{75} \)
Solução
\( \sqrt{48}=4\sqrt3,\ \sqrt{27}=3\sqrt3,\ \sqrt{75}=5\sqrt3 \Rightarrow 4\sqrt3+3\sqrt3-5\sqrt3=2\sqrt3 \). - \( \sqrt[3]{216}-\sqrt[3]{-8}+\sqrt[3]{\tfrac{1}{27}} \)
Solução
\( 6-(-2)+\tfrac13=8+\tfrac13=\tfrac{25}{3} \). - Racionalize: \( \dfrac{7}{3\sqrt{5}} \)
Solução
\( \frac{7}{3\sqrt5}\cdot\frac{\sqrt5}{\sqrt5}=\frac{7\sqrt5}{15} \). - Racionalize: \( \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \)
Solução
\( \frac{\sqrt3}{\sqrt3-\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}=\frac{3+\sqrt6}{1}=3+\sqrt6 \). - Simplifique: \( \sqrt{\dfrac{18}{8}} \)
Solução
\( \sqrt{18/8}=\sqrt{9/4}=\tfrac{3}{2} \). - \( \sqrt{49}+\sqrt[3]{-125}+\sqrt{\tfrac{1}{16}} \)
Solução
\( 7+(-5)+\tfrac14=2+\tfrac14=\tfrac{9}{4} \). - Some radicais semelhantes: \( 5\sqrt{2}-2\sqrt{8}+\sqrt{18} \)
Solução
\( \sqrt8=2\sqrt2,\ \sqrt{18}=3\sqrt2 \Rightarrow 5\sqrt2-4\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2 \). - Calcule: \( \sqrt[3]{\sqrt[4]{16}} \)
Solução
\( \sqrt[3]{\sqrt[4]{16}}=\sqrt[12]{16}=(2^4)^{1/12}=2^{1/3}=\sqrt[3]{2} \). - Escreva como potência: \( \sqrt[5]{32^{3}} \)
Solução
\( \sqrt[5]{32^3}=32^{3/5}=(2^5)^{3/5}=2^3=8 \). - Racionalize: \( \dfrac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \)
Solução
Multiplique por o conjugado: \( \dfrac{2}{\sqrt7+\sqrt5}\cdot\dfrac{\sqrt7-\sqrt5}{\sqrt7-\sqrt5}=\dfrac{2(\sqrt7-\sqrt5)}{7-5}=\sqrt7-\sqrt5 \). - Simplifique: \( \sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2} \)
Solução
\( \sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot2}=3\sqrt[3]{2} \Rightarrow 3\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2} \). - Calcule: \( \sqrt[6]{64}\cdot\sqrt[3]{8} \)
Solução
\( \sqrt[6]{64}=64^{1/6}=(2^6)^{1/6}=2;\ \sqrt[3]{8}=2 \Rightarrow 2\cdot2=4 \).
