Razão e Proporção: guia completo com exemplos e exercícios resolvidos
Razão e proporção aparecem em regra de três, porcentagem, escalas, receitas, velocidades e em inúmeras questões de prova. Aqui você aprende do zero, com muitos exemplos e exercícios.
O que é Razão?
A razão é uma forma de comparar duas grandezas por meio de uma divisão. Ela responde perguntas como: “quanto tem de uma coisa em relação à outra?”.
Exemplos simples de razão
Em uma sala há 12 meninas e 8 meninos. Qual a razão entre meninas e meninos?
Ver solução abre/fecha
- Razão (meninas/meninos): \( \frac{12}{8} \).
- Simplificando: \( \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \).
Um carro percorre 180 km com 15 litros. Qual a razão km/L?
Ver solução abre/fecha
- Razão (distância/combustível): \( \frac{180}{15} \).
- Calculando: \( \frac{180}{15} = 12 \).
Razão entre grandezas da mesma espécie e de espécies diferentes
Mesma espécie (mesma unidade)
Quando comparamos grandezas com a mesma unidade, a razão é um número puro.
Espécies diferentes (unidades diferentes)
Quando as unidades são diferentes, a razão geralmente tem unidade (ex.: velocidade, densidade, preço por kg).
O que é Proporção?
A proporção é a igualdade entre duas razões. Em linguagem de prova: “duas frações equivalentes”.
Termos da proporção
Na proporção \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), chamamos:
- a e d: extremos
- b e c: meios
Verifique se \( \frac{2}{4} \) e \( \frac{1}{2} \) formam uma proporção.
Ver solução abre/fecha
- Multiplicando cruzado: \(2 \cdot 2\) e \(4 \cdot 1\).
- \(2 \cdot 2 = 4\) e \(4 \cdot 1 = 4\).
Proporção direta e proporção inversa
Diretamente proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando: aumenta com aumenta e diminui com diminui.
Inversamente proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando: uma aumenta enquanto a outra diminui.
Se 2 kg custam R$ 18, quanto custam 5 kg (preço por kg constante)?
Ver solução abre/fecha
- Montando a proporção: \( \frac{2}{5} = \frac{18}{x} \).
- Multiplicando cruzado: \(2x = 90\).
- Logo: \(x = 45\).
4 trabalhadores fazem uma tarefa em 12 dias. Em quantos dias 6 trabalhadores fariam a mesma tarefa?
Ver solução abre/fecha
- Grandezas inversas: trabalhadores ↑, tempo ↓.
- Produto constante: \(4 \cdot 12 = 6 \cdot x\).
- \(48 = 6x\) → \(x = 8\).
Razão, Proporção e Regra de Três
A regra de três é uma aplicação direta de proporções. Em muitos exercícios, você só precisa montar a igualdade entre razões e usar o “multiplica cruzado”.
Se 3 cadernos custam R$ 18, quanto custam 5 cadernos?
Ver solução abre/fecha
- Montando a proporção: \( \frac{3}{5} = \frac{18}{x} \).
- Multiplicando cruzado: \(3x = 90\).
- Logo: \(x = 30\).
Se você quer aprofundar a parte prática, veja também: Regra de Três (guia completo).
Aplicações de razão e proporção no cotidiano
Esse conteúdo aparece muito fora da sala de aula. Quando você entende a lógica, começa a enxergar proporções em tudo:
- 📐 Escalas de mapas e plantas
- 🍰 Receitas e misturas
- 🚗 Velocidade média
- 🛒 Comparação de preços (R$/kg, R$/L)
- 🧪 Concentração e densidade
- 🏗️ Construção (traços, medidas e projetos)
Exercícios resolvidos (mais prática)
Tente resolver antes de abrir a solução. Isso aumenta muito sua fixação.
Em um grupo, 20 pessoas são mulheres e 30 são homens. Qual a razão mulheres/homens na forma simplificada?
Ver solução abre/fecha
- Razão: \( \frac{20}{30} \).
- Simplificando por 10: \( \frac{2}{3} \).
As razões \( \frac{4}{6} \) e \( \frac{10}{15} \) formam proporção? Justifique.
Ver solução abre/fecha
- Multiplicando cruzado: \(4 \cdot 15\) e \(6 \cdot 10\).
- \(4 \cdot 15 = 60\) e \(6 \cdot 10 = 60\).
Uma impressora faz 120 páginas em 3 horas. Quantas páginas ela fará em 5 horas, mantendo o mesmo ritmo?
Ver solução abre/fecha
- Montando a proporção: \( \frac{120}{3} = \frac{x}{5} \).
- Multiplicando cruzado: \(3x = 600\).
- Logo: \(x = 200\).
Se 5 operários concluem uma obra em 18 dias, em quantos dias 6 operários (com o mesmo ritmo) concluem a mesma obra?
Ver solução abre/fecha
- Grandezas inversas (operários ↑, tempo ↓).
- Produto constante: \(5 \cdot 18 = 6 \cdot x\).
- \(90 = 6x\) → \(x = 15\).
Um atleta corre 9 km em 45 minutos. Qual a velocidade média em km/h?
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- Converta 45 min para horas: \(45/60 = 0{,}75\) h.
- Velocidade: \( \frac{9}{0{,}75} = 12 \).
Para fazer um suco, mistura-se 2 partes de xarope para 6 partes de água. Qual a razão xarope/água simplificada?
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- Razão: \( \frac{2}{6} \).
- Simplificando por 2: \( \frac{1}{3} \).
Complete a proporção: \( \frac{7}{x} = \frac{21}{30} \).
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- Multiplicando cruzado: \(7 \cdot 30 = 21 \cdot x\).
- \(210 = 21x\).
- \(x = 10\).
Em um mapa, 1 cm representa 5 km. Qual distância real corresponde a 7 cm no mapa?
Ver solução abre/fecha
- Proporção direta: \(1 \text{ cm} \to 5 \text{ km}\).
- \(7 \text{ cm} \to x \text{ km}\).
- \(x = 7 \cdot 5 = 35\).
Um produto de 750 g custa R$ 12. Quanto custaria 1 kg, mantendo a mesma proporção?
Ver solução abre/fecha
- Proporção direta: \(750 \text{ g} \to 12\).
- \(1000 \text{ g} \to x\).
- \( \frac{750}{1000} = \frac{12}{x} \Rightarrow 750x = 12000\).
- \(x = 16\).
Duas torneiras enchem um tanque em 9 horas. Em quanto tempo 3 torneiras iguais enchem o mesmo tanque?
Ver solução abre/fecha
- Grandezas inversas (torneiras ↑, tempo ↓).
- Produto constante: \(2 \cdot 9 = 3 \cdot x\).
- \(18 = 3x \Rightarrow x = 6\).
Erros comuns em provas
- Montar a proporção com grandezas “trocadas” (invertendo sem perceber).
- Confundir direta com inversa (especialmente em problemas de tempo e trabalhadores).
- Esquecer de simplificar (a banca adora alternativas com frações não simplificadas).
- Não cuidar das unidades (minutos vs horas, gramas vs quilos).
Links internos (para continuar estudando)
Se você quer avançar com a mesma linha de raciocínio, aqui estão conteúdos que combinam muito com este tema:
- Regra de Três (guia completo)
- Porcentagem (do básico ao avançado)
- Ordem das Operações (prioridades)
- Análise Combinatória
- Estatística (conceitos essenciais)
Se algum desses links ainda não estiver publicado, você pode trocar pelo seu URL final quando for publicar.
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A razão compara grandezas. A proporção diz quando duas razões são equivalentes. Quando você domina isso, a regra de três e muitos problemas de prova ficam “automáticos”.
Se você quiser, eu também posso transformar estes exercícios em um bloco de “quiz” com alternativas A/B/C/D no seu padrão de post de questões.
