1) Conceitos: MMC e MDC

Se você está começando, revise o que são múltiplos e divisores (com exemplos).

2) A relação fundamental

Para quaisquer números naturais \(a\) e \(b\):

\[ \boxed{\text{MMC}(a,b)\cdot \text{MDC}(a,b)=a\cdot b} \]}

Essa identidade conecta diretamente as noções de múltiplos e divisores e os procedimentos práticos de MMC e MDC.

3) Provas da relação

3.1) Prova por fatoração em primos

Para fatorar rapidamente, consulte os critérios de divisibilidade mais usados e a revisão de múltiplos e divisores.

Escreva \(a\) e \(b\) como produtos de potências de primos: \(a=\prod p_i^{\alpha_i}\), \(b=\prod p_i^{\beta_i}\).

• \(\gcd(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}\)
• \(\mathrm{lcm}(a,b)=\prod p_i^{\max(\alpha_i,\beta_i)}\)

Logo, \(\gcd(a,b)\cdot \mathrm{lcm}(a,b)=\prod p_i^{\alpha_i+\beta_i}=a\cdot b\).

3.2) Prova via Algoritmo de Euclides

Seja \(d=\gcd(a,b)\). Escreva \(a=d\cdot a’\) e \(b=d\cdot b’\) com \(\gcd(a’,b’)=1\). Como \(a’\) e \(b’\) são coprimos, \(\mathrm{lcm}(a,b)=d\cdot a’\cdot b’\). Portanto, \(\gcd(a,b)\cdot \mathrm{lcm}(a,b)=a\cdot b\).

4) Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Fatoração

\(a=12=2^2\cdot 3\) e \(b=18=2\cdot 3^2\).

• \(\gcd(12,18)=2^1\cdot 3^1=6\)
• \(\mathrm{lcm}(12,18)=2^2\cdot 3^2=36\)

Verificação: \(6\cdot 36=216=12\cdot 18\).

Mais exemplos: MMC com exemplos resolvidos e MDC pelo Algoritmo de Euclides.

Exemplo 2 — Euclides + relação

Calcule o MMC de \(a=84\) e \(b=60\).

Euclides: \(84=60\cdot 1+24\), \(60=24\cdot 2+12\), \(24=12\cdot 2+0\) → \(\gcd=12\).

\(\mathrm{lcm}(84,60)=\dfrac{84\cdot 60}{12}=420\).

Exemplo 3 — Primos entre si

\(a=25\), \(b=28\). Como \(\gcd(25,28)=1\), \(\mathrm{lcm}(25,28)=25\cdot 28=700\).

5) Aplicações práticas

• Frações: o denominador comum vem do cálculo do MMC.
• Sincronização de ciclos: eventos a cada \(a\) e \(b\) unidades coincidem a cada \(\mathrm{lcm}(a,b)\).
• Partilhas em grupos iguais: o tamanho máximo do grupo é dado pelo MDC.

Base teórica recomendada: Múltiplos e Divisores e Critérios de Divisibilidade.

6) Erros comuns (e como evitar)

• Confundir “maior número” com MMC: o MMC é o menor múltiplo comum.
• Esquecer fatores na fatoração: no MMC entram todos os primos; no MDC apenas os comuns. Revise regras de divisibilidade.
• Somar frações sem MMC: padronize o denominador com \(\mathrm{lcm}\).

7) Exercícios propostos

Ex. 1 Calcule \(\gcd(48,180)\), \(\mathrm{lcm}(48,180)\) e verifique a relação.

Ex. 2 Dois alarmes tocam a cada 18 min e 24 min. Em quanto tempo tocarão juntos novamente?

Ex. 3 Determine o maior tamanho possível de grupos com 84 lápis vermelhos e 60 azuis, sem sobras.

Ex. 4 Sabendo que \(\gcd(a,b)=14\) e \(a\cdot b=1960\), calcule \(\mathrm{lcm}(a,b)\).

Ex. 5 Encontre \(\mathrm{lcm}(45,50)\) usando primeiro \(\gcd\) por Euclides.

Prossiga com listas completas: exercícios de MMC • exercícios de MDC • treino de divisibilidade.

8) Perguntas frequentes (FAQ)

Se \(\gcd(a,b)=1\), o que acontece?
Resposta: \(\mathrm{lcm}(a,b)=a\cdot b\). A relação \(\gcd\cdot \mathrm{lcm}=a b\) segue válida.

Funciona para três números?
Resposta: Use \(\mathrm{lcm}(a,b,c)=\mathrm{lcm}(\mathrm{lcm}(a,b),c)\) e \(\gcd(a,b,c)=\gcd(\gcd(a,b),c)\).

Quando usar Euclides?
Resposta: Para números grandes, o Algoritmo de Euclides é mais rápido para o \(\gcd\); depois aplique \(\mathrm{lcm}=\dfrac{a\cdot b}{\gcd}\).

9) Leituras relacionadas

• 🔎 Múltiplos e Divisores — guia base
• ✅ MMC (Mínimo Múltiplo Comum) — métodos e exemplos
• ➕ MDC (Máximo Divisor Comum) — Euclides e fatoração
• 🧪 Critérios de Divisibilidade — testes rápidos

Básicos — cálculo direto

1) Calcule \(\gcd(48,180)\) e \(\mathrm{lcm}(48,180)\).

2) Calcule \(\gcd(84,60)\) e \(\mathrm{lcm}(84,60)\).

3) Calcule \(\gcd(36,90)\) e \(\mathrm{lcm}(36,90)\).

4) Calcule \(\gcd(105,168)\) e \(\mathrm{lcm}(105,168)\).

5) Calcule \(\gcd(96,140)\) e \(\mathrm{lcm}(96,140)\).

Aplicações — frações, ciclos e partilhas

6) Some \( \dfrac{5}{12} + \dfrac{7}{18} \) usando o MMC dos denominadores.

7) Some \( \dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{12} \) usando o MMC.

8) Dois alarmes tocam a cada 15 min e 28 min. Após quanto tempo tocarão juntos?

9) Dois semáforos abrem a cada 48 s e 60 s. Em quanto tempo abrirão juntos novamente?

10) Há 72 canetas vermelhas e 54 azuis. Forme o maior número de kits iguais, sem sobras.

Usando \( \mathrm{MMC}\cdot\mathrm{MDC}=a\cdot b \)

11) \(\gcd(a,b)=14\) e \(a\cdot b=1960\). Calcule \(\mathrm{lcm}(a,b)\).

12) \(\gcd(a,60)=12\) e \(\mathrm{lcm}(a,60)=540\). Determine \(a\).

13) \(\gcd(a,b)=9\) e \(\mathrm{lcm}(a,b)=900\). Encontre duas duplas \((a,b)\).

14) Sabendo que \(28\mid 196\), determine \(\gcd(28,196)\) e \(\mathrm{lcm}(28,196)\).

15) Ache \(\gcd(210,231)\) e \(\mathrm{lcm}(210,231)\) (Euclides/fatoração).

Bônus — três números e mistos

16) Calcule \(\mathrm{lcm}(18,24,30)\) (em etapas).

17) Calcule \(\gcd(84,126,210)\) (em etapas).

18) Dois ônibus saem às 7h; um passa a cada 18 min e o outro a cada 27 min. A que horas passam juntos novamente?

19) Monte lotes iguais com 64 e 80 biscoitos, sem sobras. Maior número de lotes e composição?

20) \(a=48\), \(\gcd(48,b)=12\) e \(\mathrm{lcm}(48,b)=240\). Determine \(b\).