Relações Métricas no Triângulo Retângulo
O estudo das relações métricas em um triângulo retângulo é fundamental para resolver problemas de geometria, trigonometria e até de física. Essas relações envolvem os lados do triângulo, sua altura relativa à hipotenusa e os segmentos que essa altura determina.
Principais Relações Métricas
Seja um triângulo retângulo \(ABC\), com hipotenusa \(a\), catetos \(b\) e \(c\), altura relativa à hipotenusa \(h\) e projeções \(m\) e \(n\), temos:
Exemplo Resolvido
Exemplo: Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 10 cm e uma projeção mede 6 cm. Calcule a altura relativa à hipotenusa.
Pela relação: \( h^2 = m \cdot n \).
Sabemos que \( a = 10 \), \( m = 6 \). Logo, \( n = a – m = 10 – 6 = 4 \).
\( h^2 = 6 \cdot 4 = 24 \Rightarrow h = \sqrt{24} \approx 4,9 \, cm \).
📘 Exercícios de Múltipla Escolha
1) Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 13 cm e um cateto mede 12 cm. A projeção desse cateto sobre a hipotenusa é:
- 9 cm
- 11,08 cm
- 12 cm
- 10 cm
Ver solução
Relação: \( b^2 = a \cdot m \). Logo, \( 12^2 = 13 \cdot m \Rightarrow m = \frac{144}{13} \approx 11,08 \, cm \).
2) Em um triângulo retângulo, os catetos medem 6 cm e 8 cm. A altura relativa à hipotenusa vale:
- 4 cm
- 4,8 cm
- 5 cm
- 6 cm
Ver solução
\( h = \frac{b \cdot c}{a} \). Como \( a = 10 \), temos \( h = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4,8 \, cm \).
3) A altura relativa à hipotenusa mede 12 cm, e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa valem \(m\) e \(n\). Sabendo que \(m=9\), determine \(n\).
- 14 cm
- 16 cm
- 18 cm
- 12 cm
Ver solução
Relação: \( h^2 = m \cdot n \Rightarrow 144 = 9 \cdot n \Rightarrow n = 16 \).
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