Sequências Especiais 

Sequências Especiais: Fibonacci, Recorrências Lineares e Outras Sequências Notáveis

Sequências Especiais — Fibonacci, Recorrências Lineares e Outras Sequências Notáveis

Artigo revisado com conceitos, definições e cálculos conferidos. Integrações com Sequências (guia geral), Progressão Aritmética (PA) e Progressão Geométrica (PG).

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Sequência de Fibonacci — definição, propriedades e cálculos

Definição: \(F_1=1,\ F_2=1\) e, para \(n\ge3\), \(F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\). Assim, \(1,1,2,3,5,8,13,21,34,\dots\).

Propriedades fundamentais

  • Razões sucessivas: \( \dfrac{F_{n+1}}{F_n} \to \varphi=\dfrac{1+\sqrt5}{2} \) (razão áurea).
  • Soma parcial: \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}F_k=F_{n+2}-1\).
  • Cassini: \(F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n\).

Fórmula de Binet (fechada)

\[ F_n=\frac{\varphi^{\,n}-\psi^{\,n}}{\varphi-\psi},\quad \varphi=\frac{1+\sqrt5}{2},\ \psi=\frac{1-\sqrt5}{2}. \]
Exemplo: \(F_{10}=55\) (pela recorrência). Pela Binet, com arredondamento, também 55.

Mini exercícios

M1. Prove que \(\sum_{k=1}^{n}F_{2k}=F_{2n+1}-1\).

Ver solução
Use \(F_{2k}=F_{2k+1}-F_{2k-1}\) e telescopagem: a soma vira \(F_{2n+1}-F_1=F_{2n+1}-1\).

M2. Mostre por indução que \(F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n\).

Ver solução
Base \(n=1\) é verdadeira. Para o passo, substitua \(F_{n+1}=F_n+F_{n-1}\) e reagrupamentos levam a \(-\big(F_nF_{n-2}-F_{n-1}^2\big)\).

Panorama completo em Sequências (guia geral). Progressões relacionadas: PA e PG.

Sequências Recorrentes Lineares — método da equação característica

Convenção de indexação: usaremos n ≥ 0 quando as condições iniciais forem \(a_0,a_1\) e n ≥ 1 quando forem \(a_1,a_2\), para evitar ambiguidades.

Definição: \((a_n)\) é recorrente linear homogênea de ordem \(k\) se \(a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+\cdots+c_ka_{n-k}\) com constantes \(c_i\) e condições iniciais.

Passo a passo

  1. Suponha \(a_n=\lambda^n\) e substitua na recorrência.
  2. Obtenha o polinômio característico \(\lambda^k-c_1\lambda^{k-1}-\cdots-c_k=0\).
  3. Se as raízes são distintas \(\lambda_1,\dots,\lambda_k\), então \(a_n=A_1\lambda_1^{\,n}+\cdots+A_k\lambda_k^{\,n}\); ajuste \(A_i\) pelas condições iniciais.
  4. Se houver raiz múltipla, inclua fatores de \(n\) (ex.: \((A+Bn)\lambda^n\)).
Exemplo 1 (raízes distintas): \(a_n=5a_{n-1}-6a_{n-2}\), \(a_0=2\), \(a_1=5\). \(\lambda^2-5\lambda+6=0 \Rightarrow \lambda=2,3\). \(a_n=A\,2^n+B\,3^n\). De \(a_0\): \(A+B=2\). De \(a_1\): \(2A+3B=5\) ⇒ \(A=1,\ B=1\). Logo: \(a_n=2^n+3^n\).
Exemplo 2 (raiz dupla): \(a_n=2a_{n-1}-a_{n-2}\), \(a_0=1\), \(a_1=2\). \(\lambda^2-2\lambda+1=0 \Rightarrow (\lambda-1)^2=0\). Forma: \(a_n=(A+Bn)\cdot 1^n=A+Bn\). De \(a_0=1\Rightarrow A=1\). De \(a_1=2\Rightarrow A+B=2\Rightarrow B=1\). Logo: \(a_n=1+n\).

Mini exercícios

R1. \(a_n=4a_{n-1}-4a_{n-2}\), \(a_0=2\), \(a_1=4\).

Ver solução
\((\lambda-2)^2=0\Rightarrow a_n=(A+Bn)2^n\). \(a_0\Rightarrow A=2\); \(a_1\Rightarrow (A+B)2=4\Rightarrow B=0\). Portanto: \(a_n=2^{\,n+1}\).

R2. \(a_n=3a_{n-1}-a_{n-2}\), \(a_0=0\), \(a_1=1\).

Ver solução
\(\lambda=\frac{3\pm\sqrt5}{2}\). \(a_n=A\lambda_1^n+B\lambda_2^n\); de \(a_0=0\Rightarrow A+B=0\), de \(a_1=1\Rightarrow A\lambda_1+B\lambda_2=1\). Resolvendo: \(A=\frac{1}{\sqrt5},\, B=-\frac{1}{\sqrt5}\). Logo: \(a_n=\dfrac{\lambda_1^{\,n}-\lambda_2^{\,n}}{\sqrt5}\).

Recorrências de 1ª ordem equivalem a PG; veja o resumo em Progressão Geométrica. Já recorrências com soma constante remetem à Progressão Aritmética.

Outras Sequências Numéricas Notáveis — fórmulas e identidades

Números Triangulares \(T_n\)

Definição: \(1,3,6,10,15,\dots\). Fórmula: \(T_n=\dfrac{n(n+1)}{2}\).

Ex.: \(T_{50}=50\cdot 51/2=1275\).

Números Quadrados \(Q_n\)

Definição: \(1,4,9,16,25,\dots\). Fórmula: \(Q_n=n^2\).

Números Poligonais

Generalização: o \(n\)-ésimo poligonal de \(m\) lados é \(P^{(m)}_n=\dfrac{(m-2)n^2-(m-4)n}{2}\).

Harmônicos Parciais \(H_n\)

\(H_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}\) (cresce lentamente; assintótica \(H_n\sim\ln n+\gamma\)).

Aritmético-Geométrica

Produtos do tipo \((an+b)\,q^n\) (modelos com correção linear + juros).

Catalan \(C_n\)

\(1,1,2,5,14,42,\dots\). Fórmula: \(C_n=\dfrac{1}{n+1}\binom{2n}{n}\).

Mini exercícios

N1. Prove que \(T_n+T_{n-1}=n^2\).

Ver solução
\(\dfrac{n(n+1)}{2}+\dfrac{(n-1)n}{2}=\dfrac{2n^2}{2}=n^2\).

N2. Mostre que \(C_{n+1}=\dfrac{2(2n+1)}{n+2}C_n\).

Ver solução
Usando \(C_n=\dfrac{(2n)!}{(n+1)!\,n!}\), escreva \(C_{n+1}\) e simplifique; a razão resulta \(\dfrac{2(2n+1)}{n+2}\).

Consulte a visão geral de Sequências e, para progressões, veja PA e PG.

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Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.

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