Termo Geral da Progressão Geométrica (P.G.)
Na P.G. com primeiro termo \(a_1\) e razão \(q\), o n-ésimo termo é obtido por uma potência da razão. A seguir estão a fórmula, a interpretação dos símbolos, um exemplo detalhado e exercícios.
Fórmula do termo geral
$$a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1} \qquad (n\ge 1)$$
Onde: \(a_n\) é o n-ésimo termo; \(a_1\) é o primeiro termo; \(q\) é a razão (fator multiplicativo); \(n\) é a posição do termo.
Como usar a fórmula
- Identifique \(a_1\) e \(q\) a partir do enunciado (ou calcule \(q=\dfrac{a_2}{a_1}\)).
- Substitua em \(a_n = a_1\cdot q^{n-1}\).
- Calcule a potência \(q^{n-1}\) e multiplique por \(a_1\).
Exemplo resolvido
Encontre o 8º termo da P.G. \(a_1=3\) e \(q=2\).
Usando \(a_n = a_1\cdot q^{n-1}\):
\(a_8 = 3\cdot 2^{8-1}\)
\(= 3\cdot 2^7\)
\(= 3\cdot 128\)
\(= 384\).
Resposta: \(a_8=384\).
Erros comuns
- Elevar \(q\) ao expoente errado (use sempre \(n-1\)).
- Confundir \(a_n\) com a soma dos termos (para a soma, use \(S_n\)).
- Esquecer o sinal de \(q\) quando \(q<0\) (P.G. alternante).
Exercícios (com múltipla escolha)
1) Cálculo direto do termo
Na P.G. \(a_1=5\) e \(q=3\), o valor de \(a_4\) é:
- A) 15
- B) 45
- C) 135
- D) 405
\(a_4= 5\cdot 3^{3}=5\cdot27=135\).
Resposta: C ✅
2) Descobrir a razão com dois termos
Se \(a_3=48\) e \(a_1=3\), a razão \(q\) vale:
- A) 4
- B) 8
- C) 16
- D) \( \dfrac{48}{3} \)
\(a_3=a_1 q^{2}\Rightarrow 48=3q^2\Rightarrow q^2=16\Rightarrow q=4\) (considerando \(q>0\)).
Resposta: A ✅
3) Termo pedido quando se conhece um termo intermediário
Numa P.G., \(a_2=6\) e \(q= \dfrac{3}{2}\). Então \(a_6\) é:
- A) \( \dfrac{81}{2} \)
- B) \( \dfrac{243}{2} \)
- C) \( \dfrac{729}{2} \)
- D) \( \dfrac{243}{4} \)
\(a_n=a_1 q^{n-1}\) e \(a_2=a_1 q\Rightarrow a_1=\dfrac{a_2}{q}=\dfrac{6}{3/2}=4\).
\(a_6=4\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^{5}=4\cdot\dfrac{243}{32}=\dfrac{972}{32}=\dfrac{243}{8}\).
Nenhuma alternativa coincide. Reajustando: se o enunciado fosse \(a_2=6\) e \(q=\tfrac{3}{2}\), o valor correto é \(\dfrac{243}{8}\).
Para manter alternativas corretas, considere \(q=\tfrac{3}{2}\) e pergunte \(a_5\):
\(a_5=4\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^4=4\cdot \dfrac{81}{16}=\dfrac{81}{4}=20{,}25\).
3 — versão ajustada (válida para múltipla escolha)
Numa P.G., \(a_2=6\). Se \(q=\dfrac{3}{2}\), então \(a_4\) é:
- A) \( \dfrac{27}{2} \)
- B) \( \dfrac{81}{4} \)
- C) \( \dfrac{243}{8} \)
- D) \( \dfrac{729}{16} \)
Como acima, \(a_1=4\). Logo \(a_4=4\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^3=4\cdot\dfrac{27}{8}=\dfrac{27}{2}\).
Resposta: A ✅
4) Razão negativa (alternante)
Para \(a_1=2\) e \(q=-3\), o termo \(a_5\) vale:
- A) \(-54\)
- B) \(54\)
- C) \(-162\)
- D) \(162\)
\(a_5=2\cdot(-3)^{4}=2\cdot81=162\) (positivo).
Resposta: D ✅
5) Encontrar \(n\) a partir de um termo
Numa P.G. \(a_1=5\), \(q=2\). Para qual \(n\) temos \(a_n=1280\)?
- A) \(n=7\)
- B) \(n=8\)
- C) \(n=9\)
- D) \(n=10\)
\(1280=5\cdot2^{n-1}\Rightarrow 256=2^{n-1}\Rightarrow 2^{8}=2^{n-1}\Rightarrow n-1=8\Rightarrow n=9\).
Resposta: C ✅
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