Propriedades da Progressão Geométrica (P.G.)
Nesta página reunimos as propriedades mais usadas em provas e concursos, com foco prático: formas canônicas para P.G. de 3, 4 e 5 termos, média geométrica, relação entre termos equidistantes, escalonamento por constante e truques típicos de questões.
1) Formas canônicas para 3, 4 e 5 termos
3 termos em P.G.:
\((x,\; xq,\; xq^2)\) ou \(\left(\frac{x}{q},\; x,\; xq\right)\)
4 termos em P.G.:
\((x,\; xq,\; xq^2,\; xq^3)\) ou
\(\left(\frac{x}{q^3},\; \frac{x}{q},\; x,\; xq^3\right)\) (forma “simétrica” em torno de \(x\))
5 termos em P.G.:
\((x,\; xq,\; xq^2,\; xq^3,\; xq^4)\) ou
\(\left(\frac{x}{q^2},\; \frac{x}{q},\; x,\; xq,\; xq^2\right)\)
Observação: nessas formas, \(x\neq 0\) e \(q\neq 0\). Usar a forma “centrada” (com \(x\) no meio) é muito útil quando surge a condição “termos equidistantes do meio”.
2) Média geométrica (PG de 3 termos)
Se \(a, b, c\) estão em P.G., então \(b\) é a média geométrica de \(a\) e \(c\):
$$b^2 = ac \qquad\text{(com } a>0,\ c>0\text{)}$$
3) Termos equidistantes
Em qualquer P.G., o produto de dois termos equidistantes do termo central (ou de um mesmo índice de referência) é constante:
$$a_{k} \cdot a_{n-k+1} = a_1\cdot a_n = \text{constante}$$
Na forma centrada, por exemplo \(\left(\frac{x}{q^2}, \frac{x}{q}, x, xq, xq^2\right)\), temos \(\frac{x}{q^2}\cdot xq^2 = x^2\) e \(\frac{x}{q}\cdot xq = x^2\).
4) Escalonamento por constante
Se \((a_n)\) é P.G. de razão \(q\) e \(k\neq 0\), então \((ka_n)\) também é P.G. de razão \(q\). Multiplicar todos os termos por uma constante preserva a razão.
5) Razão pela divisão de termos consecutivos
Em P.G., \(q = \dfrac{a_{n}}{a_{n-1}}\) (com \(a_{n-1}\neq 0\)). Em muita questão, essa igualdade resolve o problema imediatamente.
Exemplos rápidos
Exemplo 1 — Média geométrica
Se \(6,\,x,\,\dfrac{54}{x}\) estão em P.G., calcule \(x\).
Como é PG de 3 termos, \(x^2 = 6\cdot \dfrac{54}{x}\Rightarrow x^3=324\Rightarrow x= \sqrt[3]{324}= 3\sqrt[3]{12}\) (aceita-se decimal aproximado \(x\approx 6{,}93\)).
Exemplo 2 — Uso da forma centrada (5 termos)
Suponha cinco termos em P.G. com o termo do meio igual a \(10\) e razão \(q=2\). Escreva a sequência.
Forma centrada: \(\left(\frac{x}{q^2},\frac{x}{q},x,xq,xq^2\right)\). Com \(x=10\) e \(q=2\): \(\left(\frac{10}{4},\frac{10}{2},10,20,40\right)=(2{,}5,5,10,20,40)\).
Exercícios (com múltipla escolha)
1) Forma de 3 termos
Os números \(8,\,x,\,18\) formam uma P.G. positiva. O valor de \(x\) é:
- A) 10
- B) 12
- C) 16
- D) \(3\sqrt{16}\)
Em P.G. de 3 termos: \(x^2=8\cdot18=144\Rightarrow x=12\) (positivo).
Resposta: B ✅
2) Termos equidistantes
Numa P.G. de cinco termos, o 1º e o 5º valem \(2\) e \(50\). O produto do 2º pelo 4º é:
- A) 25
- B) 50
- C) 100
- D) 10
Em P.G. de 5 termos, \(a_1\cdot a_5=a_2\cdot a_4\). Logo \(2\cdot50=100\).
Resposta: C ✅
3) Descobrir a razão
Em uma P.G., \(a_2=9\) e \(a_5=72\). A razão \(q\) é:
- A) \(q=2\)
- B) \(q=\sqrt{2}\)
- C) \(q=\dfrac{72}{9}\)
- D) \(q= \sqrt[3]{\dfrac{a_5}{a_2}} \)
\(a_5=a_2\cdot q^{3}\Rightarrow 72=9q^3\Rightarrow q^3=8\Rightarrow q=2\).
Resposta: A ✅
4) Escalonamento
Se \((a_n)\) é P.G. de razão \(q\) e definimos \(b_n=5a_n\), então \((b_n)\) é:
- A) P.A. de razão \(5q\)
- B) P.G. de razão \(5q\)
- C) P.G. de razão \(q\)
- D) Não é progressão
Multiplicar todos os termos por constante não altera a razão da P.G.: \((b_n)\) é P.G. de razão \(q\).
Resposta: C ✅
5) Forma centrada (4 termos)
Quatro números em P.G. têm 2º termo igual a \(6\) e 3º igual a \(9\). O 1º termo vale:
- A) 3
- B) 4
- C) \( \dfrac{9}{2} \)
- D) 2
Se \(a_2=6\) e \(a_3=9\), então \(q=\dfrac{a_3}{a_2}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\). Logo \(a_1=\dfrac{a_2}{q}= \dfrac{6}{3/2}=4\).
Resposta: B ✅
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