Triângulo Escaleno

O triângulo escaleno é aquele cujos três lados são diferentes. Em geral, também possui três ângulos diferentes. Pode ser acutângulo, retângulo ou obtusângulo, conforme seus ângulos internos.

Propriedades

Sem simetrias: em geral não há eixos de simetria; as medianas, alturas e bissetrizes são distintas.
Desigualdade triangular: \(a
Soma dos ângulos internos: \(\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\).
Classificação por ângulos: use o maior lado \(c\): \(a^2+b^2=c^2\Rightarrow\) retângulo; \(a^2+b^2>c^2\Rightarrow\) acutângulo; \(a^2+b^2

Fórmulas essenciais (uma por linha)

\[ \textbf{Perímetro:}\quad P=a+b+c \]

\[ \textbf{Semiperímetro:}\quad s=\frac{a+b+c}{2} \]

\[ \textbf{Área (base-altura):}\quad A=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2} \]

\[ \textbf{Área (Heron):}\quad A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \]

\[ \textbf{Área (com ângulo):}\quad A=\frac{1}{2}\,a\,b\,\sin\gamma=\frac{1}{2}\,b\,c\,\sin\alpha=\frac{1}{2}\,c\,a\,\sin\beta \]

\[ \textbf{Lei dos Senos:}\quad \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R \]

\[ \textbf{Lei do Cosseno:}\quad c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma \quad(\text{análogas para } a,b) \]

\[ \textbf{Inraio:}\quad r=\frac{A}{s} \]

\[ \textbf{Circunrádio:}\quad R=\frac{a}{2\sin\alpha}=\frac{b}{2\sin\beta}=\frac{c}{2\sin\gamma} \]

\[ \textbf{Medianas:}\quad m_a=\tfrac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\quad(\text{análogas para }m_b,m_c) \]

Em triângulos escalenos, as três alturas, medianas, bissetrizes e mediatrizes são diferentes; seus pontos notáveis (baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro) não coincidem.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Área por Heron (situação problema)

Uma peça triangular de metal tem lados \(a=7\ \text{cm}\), \(b=9\ \text{cm}\) e \(c=12\ \text{cm}\). Calcule a área para estimar a pintura.

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\[ \begin{aligned} s &= \frac{a+b+c}{2}\\ &= \frac{7+9+12}{2}\\ &= \frac{28}{2}\\ &= 14\\[6pt] A &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\ &= \sqrt{14\cdot(14-7)\cdot(14-9)\cdot(14-12)}\\ &= \sqrt{14\cdot 7\cdot 5\cdot 2}\\ &= \sqrt{980}\\ &= 7\sqrt{20}\\ &= 7\cdot 2\sqrt{5}\\ &= \boxed{14\sqrt{5}\ \text{cm}^2\ (\approx 31{,}30)} \end{aligned} \]

Exemplo 2 — Lado faltante e classificação por ângulo

Num terreno triangular, dois lados medem \(a=8\ \text{m}\) e \(b=15\ \text{m}\) e o ângulo entre eles é \(\gamma=70^\circ\). Encontre \(c\) e classifique o triângulo quanto aos ângulos.

Ver solução

\[ \begin{aligned} c^2 &= a^2+b^2-2ab\cos\gamma\\ &= 8^2+15^2-2\cdot 8\cdot 15\cos70^\circ\\ &= 64+225-240\cos70^\circ\\ \cos70^\circ &\approx 0{,}3420\\ c^2 &\approx 289-240\cdot 0{,}3420\\ &\approx 289-82{,}08\\ &\approx 206{,}92\\ c &\approx 14{,}39\ \text{m}\\[6pt] \text{Como } &\gamma=70^\circ<90^\circ,\ \text{triângulo \textbf{acutângulo}.} \end{aligned} \]

Exemplo 3 — Área com base e altura (situação problema)

Uma placa em forma de triângulo escaleno tem base \(b=18\ \text{cm}\) e altura correspondente \(h_b=7\ \text{cm}\). Calcule a área para informar o consumo de adesivo.

Ver solução

\[ \begin{aligned} A &= \frac{b\cdot h_b}{2}\\ &= \frac{18\cdot 7}{2}\\ &= \frac{126}{2}\\ &= \boxed{63\ \text{cm}^2} \end{aligned} \]

Exemplo 4 — Ângulo por Lei dos Cossenos

Dado um triângulo com lados \(a=10\), \(b=13\) e \(c=17\) (em cm). Determine o ângulo \(\gamma\) oposto a \(c\) e indique se o triângulo é acutângulo, retângulo ou obtusângulo.

Ver solução

\[ \begin{aligned} \cos\gamma &= \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\\ &= \frac{10^2+13^2-17^2}{2\cdot 10\cdot 13}\\ &= \frac{100+169-289}{260}\\ &= \frac{-20}{260}\\ &= -\frac{1}{13}\\ \gamma &\approx \arccos\!\left(-\tfrac{1}{13}\right)\\ &\approx 94{,}4^\circ\\ \text{Logo } &\gamma>90^\circ\ \Rightarrow\ \textbf{obtusângulo}. \end{aligned} \]

Lista de exercícios — Triângulo Escaleno (múltipla escolha)

Use, se precisar: \(P=a+b+c\), \(s=\frac{a+b+c}{2}\), \(A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\), \(A=\tfrac12 ab\sin\gamma\), \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\), \(r=\tfrac{A}{s}\), \(R=\tfrac{a}{2\sin\alpha}\).

(1)

Os comprimentos \(5\), \(7\) e \(11\) cm formam um triângulo?

Sim, escaleno
Não, pois \(5+7\le 11\)
Não, pois há lados iguais
Sim, isósceles
Sim, equilátero

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\(5+7=12>11\) e as demais somas também excedem. Forma triângulo e não há lados iguais ⇒ escaleno. Resposta: A.

(2)

Num triângulo com \(a=8\), \(b=12\) e \(\gamma=90^\circ\), o lado \(c\) vale:

10
12
14
\(\sqrt{208}\) (= \(4\sqrt{13}\))
\(\sqrt{320}\)

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Ângulo reto em \(\gamma\): \(c^2=a^2+b^2=8^2+12^2=208\Rightarrow c=\sqrt{208}=4\sqrt{13}\). Resposta: D.

(3)

Para \(a=7\), \(b=9\), \(c=12\), a área é aproximadamente:

\(28{,}0\)
\(31{,}3\)
\(33{,}0\)
\(35{,}0\)
\(38{,}5\)

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Do Ex. 1 (Heron): \(A=14\sqrt{5}\approx 31{,}30\). Resposta: B.

(4)

Com \(a=10\), \(b=13\), \(c=17\), a classificação por ângulos é:

Acutângulo
Retângulo
Obtusângulo
Equilátero
Isósceles

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Do Ex. 4: \(\gamma\approx 94{,}4^\circ>90^\circ\Rightarrow\) obtusângulo. Resposta: C.

(5)

Para \(a=9\), \(b=14\), \(c=16\), o semiperímetro é:

18,5
19
19,5
20
20,5

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\(s=\dfrac{9+14+16}{2}=\dfrac{39}{2}=19{,}5\). Resposta: C.

(6)

Se \(a=11\), \(b=13\), \(\gamma=60^\circ\), a área é:

\(\tfrac{11\cdot 13}{4}\)
\(\tfrac{11\cdot 13\sqrt{3}}{4}\)
\(\tfrac{11\cdot 13\sqrt{3}}{2}\)
\(\tfrac{11\cdot 13}{2}\)
\(\tfrac{(11+13)\sqrt{3}}{4}\)

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\(A=\tfrac12 ab\sin\gamma=\tfrac12\cdot 11\cdot 13\cdot\sin60^\circ=\tfrac{143}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{143\sqrt{3}}{4}\). Resposta: B.

(7)

Com \(a=6\), \(b=8\), \(c=11\), decida se é acutângulo, retângulo ou obtusângulo.

Acutângulo
Retângulo
Obtusângulo
Equilátero
Isósceles

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Maior lado \(c=11\). \(6^2+8^2=36+64=100obtusângulo. Resposta: C.

(8)

Para \(a=8\), \(b=15\), \(\gamma=70^\circ\), \(c\) é aproximadamente:

\(13{,}2\)
\(14{,}0\)
\(14{,}4\)
\(15{,}0\)
\(15{,}6\)

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Do Ex. 2: \(c\approx 14{,}39\ \Rightarrow\) aproxima \(14{,}4\). Resposta: C.

(9)

Se \(a=10\), \(b=12\), \(c=9\), o perímetro é:

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\(P=10+12+9=31\). Resposta: B.

(10)

Para lados \(a=9\), \(b=10\), \(c=14\):

Não forma triângulo
Forma e é retângulo
Forma e é acutângulo
Forma e é obtusângulo
Isósceles

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Teste: \(9+10=19>14\) (forma). Classificação: maior lado \(c=14\). \(9^2+10^2=181obtusângulo. Resposta: D.

Resumo rápido

\[ \textbf{Perímetro:}\ P=a+b+c \]

\[ \textbf{Semiperímetro:}\ s=\tfrac{a+b+c}{2} \]

\[ \textbf{Área (Heron):}\ A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \]

\[ \textbf{Área (com ângulo):}\ A=\tfrac12 ab\sin\gamma \]

\[ \textbf{Lei do Cosseno:}\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma \]

\[ \textbf{Lei dos Senos:}\ \tfrac{a}{\sin\alpha}=\tfrac{b}{\sin\beta}=\tfrac{c}{\sin\gamma}=2R \]

\[ \textbf{Inraio:}\ r=\tfrac{A}{s} \quad\ \textbf{Circunrádio:}\ R=\tfrac{a}{2\sin\alpha} \]

Para aprofundar: Área de Triângulo · Lei dos Senos · Lei do Cosseno.

Triângulo Escaleno

Triângulo Escaleno

Propriedades

Fórmulas essenciais (uma por linha)

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Área por Heron (situação problema)

Exemplo 2 — Lado faltante e classificação por ângulo

Exemplo 3 — Área com base e altura (situação problema)

Exemplo 4 — Ângulo por Lei dos Cossenos

Lista de exercícios — Triângulo Escaleno (múltipla escolha)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Resumo rápido

Materiais do Matemática Hoje

Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo

Desigualdade Triangular

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

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