UNICAMP 2020 – Função Trigonométrica e Manipulação Algébrica
Seja a função \( f(x) = \frac{2 + sen x}{2 + \cos x} \), definida para todo número real \( x \).
a) Mostre que \( f(\pi/2) + f(-\pi/2) = f(\pi) \cdot f(\pi/4) \).
b) Seja \( \theta \) um número real tal que \( f(\theta) = 2 \). Determine os possíveis valores de \( sen \theta \).
a) Mostre que \( f(\pi/2) + f(-\pi/2) = f(\pi) \cdot f(\pi/4) \).
b) Seja \( \theta \) um número real tal que \( f(\theta) = 2 \). Determine os possíveis valores de \( sen \theta \).
- Parte a) Demonstração:
Substituímos nas funções: \[ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{2+sen(\pi/2)}{2+\cos(\pi/2)} = \frac{3}{2} \] \[ f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{2+sen(-\pi/2)}{2+\cos(-\pi/2)} = \frac{1}{2} \] \[ f(\pi) = \frac{2+sen\pi}{2+\cos\pi} = 2 \quad\text{e}\quad f(\pi/4) = 1 \] Portanto: \[ f\left(\frac{\pi}{2}\right) + f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2 = f(\pi) \cdot f(\pi/4) \] - Parte b) Determinando \( sen\theta \):
\[ f(\theta) = 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{2+sen\theta}{2+\cos\theta} = 2 \] \[ 2+sen\theta = 4 + 2\cos\theta \quad \Rightarrow \quad \cos\theta = \frac{sen\theta – 2}{2} \] Usando \( sen^2\theta + \cos^2\theta = 1 \): \[ sen^2\theta + \left(\frac{sen\theta – 2}{2}\right)^2 = 1 \] \[ 5sen^2\theta – 4sen\theta = 0 \quad \Rightarrow \quad sen\theta(5sen\theta – 4) = 0 \] Logo: \[ sen\theta = 0 \quad \text{ou} \quad sen\theta = \frac{4}{5} \]
Respostas:
- a) Demonstração
- b) \( sen\theta = 0 \) ou \( \frac{4}{5} \)
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