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UNICAMP 2021 – Questão sobre Progressão Geométrica
Seja \( x \) um número real tal que os primeiros três termos de uma progressão geométrica infinita
são \( 1, 2x, -3x+1 \), nesta ordem.
Sabendo que todos os termos da progressão são positivos, a soma de todos eles é igual a:
a) \( \frac{3}{2} \) b) 2
c) \( \frac{5}{2} \)
d) 3
a) \( \frac{3}{2} \) b) 2
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- Seja a PG infinita: \( 1, 2x, -3x+1, \dots \)
- Para formar uma PG: \[ (2x)^2 = 1 \cdot (-3x + 1) \] \[ 4x^2 = -3x + 1 \quad \Rightarrow \quad 4x^2 + 3x – 1 = 0 \]
- Resolvendo a equação do 2º grau: \[ x = -1 \quad (\text{não convém}) \quad \text{ou} \quad x = \frac{1}{4} \]
- Logo, a PG é: \[ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \dots \]
- A soma dos infinitos termos é: \[ S_\infty = \frac{1}{1 – \frac{1}{2}} = 2 \]
- Portanto, a resposta correta é **B**.
