Números Fracionários — Definição, Tipos, Operações e Exercícios
O que são números fracionários?
Números fracionários representam partes de um todo e são escritos na forma \(\dfrac{p}{q}\), com \(p,q\in\mathbb{Z}\) e \(q\neq 0\). Eles pertencem ao conjunto dos números racionais e, portanto, aos reais.
Partes da fração e leitura
- Numerador (p): indica quantas partes estamos considerando.
- Denominador (q): indica em quantas partes iguais o todo foi dividido.
Dica: se possível, represente frações com desenhos de áreas/segmentos para criar intuição visual.
Tipos: próprias, impróprias e mistas
- Próprias: \(|p|<|q|\Rightarrow 0<\left|\dfrac{p}{q}\right|<1\). Ex.: \(\frac{3}{5}\).
- Impróprias: \(|p|\ge |q|\). Ex.: \(\frac{9}{7}\), \(\frac{4}{4}=1\).
- Mistas: combinação de inteiro com fração própria. Ex.: \(2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\).
Frações equivalentes e simplificação (MDC)
Frações são equivalentes quando representam a mesma quantidade:
Simplificação: divida numerador e denominador pelo MDC(p,q) para obter a forma irredutível.
Operações com frações
Adição e subtração
Denominadores iguais: some/subtraia numeradores. Diferentes: use o MMC(q₁,q₂).
Multiplicação
Divisão
Potenciação e radiciação básicas
Comparação e ordenação
- Com denominadores iguais, compare numeradores.
- Com denominadores diferentes, reduza ao MMC ou use o produto cruzado: compare \(ad\) com \(bc\) em \(\frac{a}{b}\) vs \(\frac{c}{d}\) (com \(b,d>0\)).
Conversões: fração ↔ decimal ↔ porcentagem
- \(\dfrac{p}{q}\rightarrow\) decimal: faça \(p\div q\).
- Decimal \(\rightarrow\) fração: escreva sobre potência de 10 e simplifique (ou transforme dízima em fração).
- Fração \(\rightarrow\) porcentagem: \(\dfrac{p}{q}\cdot 100\%\).
Conexões: aprofunde em Números Decimais e Números Racionais.
Aplicações do dia a dia
- Receitas: \(\frac{3}{4}\) de xícara, \(\frac{1}{2}\) colher.
- Descontos: \(\frac{1}{5}=20\%\) de promoção.
- Mapas/medidas: escalas, divisão de áreas e segmentos.
Exemplos Resolvidos
Exemplo 1 — Soma com MMC
Enunciado: \(\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{6}\).
Solução passo a passo
- MMC(4,6)=12.
- \(\frac{3}{4}=\frac{9}{12}\), \(\frac{5}{6}=\frac{10}{12}\).
- Soma: \(\frac{19}{12}=1\frac{7}{12}\).
Exemplo 2 — Produto com simplificação
Enunciado: \(\dfrac{14}{15}\cdot\dfrac{9}{28}\).
Solução passo a passo
Simplifique \(14\) com \(28\) → \(\frac{14}{28}=\frac{1}{2}\); simplifique \(9\) com \(15\) → \(\frac{9}{15}=\frac{3}{5}\). Resultado: \(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5}=\frac{3}{10}\).
Exemplo 3 — Dízima para fração
Enunciado: Converta \(x=0,\overline{27}\) em fração irredutível.
Solução passo a passo
\(100x=27,\overline{27}\Rightarrow 100x-x=27\Rightarrow 99x=27\Rightarrow x=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\).
Exercícios Propostos
- Simplifique: \(\dfrac{84}{126}\).
- Some: \(\dfrac{7}{10}+\dfrac{3}{4}\).
- Subtraia: \(\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{8}\).
- Multiplique: \(\dfrac{9}{16}\cdot\dfrac{8}{27}\).
- Divida: \(\dfrac{5}{12}\div\dfrac{3}{8}\).
- Converta para fração: \(0,\overline{3}\).
- Converta para decimal: \(\dfrac{7}{16}\).
- Escreva em forma mista: \(\dfrac{29}{6}\).
- Qual é maior: \(\dfrac{11}{24}\) ou \(\dfrac{5}{11}\)?
- Qual fração representa 12,5%?
Gabarito (clique para ver)
1) \(\frac{2}{3}\) • 2) \(\frac{29}{20}=1\frac{9}{20}\) • 3) \(\frac{17}{24}\) • 4) \(\frac{9}{54}=\frac{1}{6}\) • 5) \(\frac{10}{9}\) • 6) \(\frac{1}{3}\) • 7) \(0,4375\) • 8) \(4\frac{5}{6}\) • 9) \(\frac{11}{24}\approx0,4583\) e \(\frac{5}{11}\approx0,4545\) ⇒ \(\frac{11}{24}>\frac{5}{11}\) • 10) \(\frac{1}{8}\).
Leituras Relacionadas
Resumo e Materiais
- ✔ Definição e leitura de frações
- ✔ Tipos: próprias, impróprias e mistas
- ✔ Equivalência, simplificação e MMC/MDC
- ✔ Operações, comparação e conversões
- ✔ Exemplos resolvidos e exercícios
