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Tetraedro Regular

Tetraedro Regular — definição, elementos, fórmulas, planificação e exercícios

Tetraedro Regular

Definição, elementos, fórmulas de área/volume, altura, esferas inscrita e circunscrita, planificação e exemplos

Tetraedro regular
Tetraedro regular — todas as 6 arestas têm o mesmo comprimento e as 4 faces são triângulos equiláteros.

1) O que é

O tetraedro regular é um poliedro com 4 faces congruentes (triângulos equiláteros), 6 arestas de mesmo comprimento \(a\) e 4 vértices. É um dos Sólidos de Platão e satisfaz a relação de Euler \(V-E+F=4-6+4=2\).

Notação: aresta \(a\), área total \(S\), volume \(V\), altura \(h\), raios da esfera inscrita \(r\) e circunscrita \(R\), ângulo diedro \(\theta\).

2) Fórmulas essenciais (em função de \(a\))

Área de uma face: \(A_{\text{face}}=\dfrac{\sqrt3}{4}\,a^2\)
Área total: \(S=4\,A_{\text{face}}=\sqrt3\,a^2\)
Volume: \(V=\dfrac{a^3}{6\sqrt2}\)
Altura: \(h=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\,a\)
Esfera inscrita e circunscrita: \(r=\dfrac{\sqrt6}{12}\,a,\quad R=\dfrac{\sqrt6}{4}\,a\)
Ângulo diedro: \(\theta=\arccos\!\left(\dfrac{1}{3}\right)\approx 70{,}53^\circ\)

Dica-memória: \(S\propto a^2\) e \(V\propto a^3\); os fatores \(\sqrt3\) e \(\sqrt2\) nascem da geometria do triângulo equilátero e das alturas no espaço.

3) Planificação

A planificação do tetraedro é composta por quatro triângulos equiláteros. Existem duas redes (não congruentes) possíveis para “abrir” o sólido. A área da planificação é a área total \(S=\sqrt3\,a^2\).

4) Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Dado \(a=6\) cm, calcule área total \(S\), o volume \(V\), a altura \(h\), o raio circunscrito \(R\) e o raio inscrito \(r\)

Ver solução
$$\begin{aligned} S &= \sqrt3\,a^2\\ &= \sqrt3\cdot 36\\ &\approx 62{,}35\ \text{cm}^2\\[6pt] V &= \frac{a^3}{6\sqrt2}\\ &= \frac{216}{6\cdot 1{,}4142}\\ &= \frac{216}{8{,}4853}\\ &\approx 25{,}46\ \text{cm}^3\\[6pt] h &= \sqrt{\tfrac{2}{3}}\,a\\ &= 0{,}816496\cdot 6\\ &\approx 4{,}90\ \text{cm}\\[6pt] R &= \tfrac{\sqrt6}{4}\,a \approx 0{,}612372\cdot 6 \approx 3{,}67\ \text{cm}\\ r &= \tfrac{\sqrt6}{12}\,a \approx 0{,}204124\cdot 6 \approx 1{,}22\ \text{cm} \end{aligned}$$

Exemplo 2 — Dado o volume \(V=40\) cm³, encontre a aresta \(a\)

Ver solução
$$\begin{aligned} V &= \frac{a^3}{6\sqrt2}\\ a^3 &= 6\sqrt2\,V\\ &= 6\cdot 1{,}4142\cdot 40\\ &\approx 339{,}41\\ a &\approx \sqrt[3]{339{,}41}\\ &\approx 6{,}98\ \text{cm} \end{aligned}$$

Exemplo 3 — Se \(S=48\sqrt3\) cm², calcule a aresta \(a\) e o volume \(V\)

Ver solução
$$\begin{aligned} S &= \sqrt3\,a^2\\ 48\sqrt3 &= \sqrt3\,a^2\\ a^2 &= 48\\ a &= \sqrt{48}=4\sqrt3\ \ (\approx 6{,}93\ \text{cm})\\[6pt] V &= \frac{a^3}{6\sqrt2}\\ &= \frac{(4\sqrt3)^3}{6\sqrt2}\\ &= \frac{192\sqrt3}{6\sqrt2}\\ &= 32\sqrt{\tfrac{3}{2}}\\ &\approx 39{,}19\ \text{cm}^3 \end{aligned}$$

5) Exercícios propostos

  1. Para \(a=8\) cm, calcule a área total e o volume.
  2. Dado o volume \(V=100\) cm³, determine a aresta \(a\).
  3. Se \(S=100\sqrt3\) cm², calcule \(a\), \(h\), \(R\) e \(r\).
  4. Uma peça tem altura \(h=12\) cm. Encontre \(a\) e o volume.
  5. Mostre que o cosseno do ângulo diedro vale \(1/3\).

6) Links internos úteis

Poliedros Sólidos de Platão Fórmula de Euler Área de triângulo Triângulos semelhantes Planificação do cubo

7) Materiais do blog

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Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.
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