Tetraedro Regular
Definição, elementos, fórmulas de área/volume, altura, esferas inscrita e circunscrita, planificação e exemplos
1) O que é
O tetraedro regular é um poliedro com 4 faces congruentes (triângulos equiláteros), 6 arestas de mesmo comprimento \(a\) e 4 vértices. É um dos Sólidos de Platão e satisfaz a relação de Euler \(V-E+F=4-6+4=2\).
Notação: aresta \(a\), área total \(S\), volume \(V\), altura \(h\), raios da esfera inscrita \(r\) e circunscrita \(R\), ângulo diedro \(\theta\).
2) Fórmulas essenciais (em função de \(a\))
Dica-memória: \(S\propto a^2\) e \(V\propto a^3\); os fatores \(\sqrt3\) e \(\sqrt2\) nascem da geometria do triângulo equilátero e das alturas no espaço.
3) Planificação
A planificação do tetraedro é composta por quatro triângulos equiláteros. Existem duas redes (não congruentes) possíveis para “abrir” o sólido. A área da planificação é a área total \(S=\sqrt3\,a^2\).
4) Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Dado \(a=6\) cm, calcule área total \(S\), o volume \(V\), a altura \(h\), o raio circunscrito \(R\) e o raio inscrito \(r\)
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Exemplo 2 — Dado o volume \(V=40\) cm³, encontre a aresta \(a\)
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Exemplo 3 — Se \(S=48\sqrt3\) cm², calcule a aresta \(a\) e o volume \(V\)
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5) Exercícios propostos
- Para \(a=8\) cm, calcule a área total e o volume.
- Dado o volume \(V=100\) cm³, determine a aresta \(a\).
- Se \(S=100\sqrt3\) cm², calcule \(a\), \(h\), \(R\) e \(r\).
- Uma peça tem altura \(h=12\) cm. Encontre \(a\) e o volume.
- Mostre que o cosseno do ângulo diedro vale \(1/3\).
