Sistemas equivalentes
Nesta página, explicamos de forma objetiva quando dois sistemas lineares são equivalentes (possuem o mesmo conjunto de soluções), quais operações preservam essa equivalência e como usar isso para resolver sistemas rapidamente. Conteúdo essencial para ENEM e vestibulares. Para revisar a base, veja: equação linear, equação linear homogênea, classificação (SPD, SI, SPI), sistemas lineares escalonados e sistemas m × n.
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Quero o eBook Ver coleção 10 eBooksDefinição
conceito-chave Dois sistemas lineares são equivalentes quando têm o mesmo conjunto de soluções. Em linguagem matricial, aplicar operações elementares de linha à matriz aumentada \([A\mid \mathbf{b}]\) produz sistemas equivalentes. Para ver equivalência em equações isoladas, confira equações lineares equivalentes.
Operações que preservam equivalência
Use estas três operações para simplificar mantendo as mesmas soluções.
- Troca Trocar duas equações: \(L_i \leftrightarrow L_j\).
- Escala Multiplicar por \(\lambda\neq 0\): \(L_i \leftarrow \lambda L_i\).
- Combinação Somar um múltiplo de outra: \(L_i \leftarrow L_i+\lambda L_j\).
Não preserva: multiplicar por \(0\) ou alterar apenas o termo independente sem proporcionalidade.
Revisão rápida: veja sistemas escalonados e classificação SPD–SI–SPI.
Construindo um sistema equivalente (2×2)
Sistema \(S:\ \begin{cases} x+y=6\\ 2x-3y=2 \end{cases}\)
Aplique Combinação \(L_2\leftarrow L_2+3L_1\): \(2x-3y+3(x+y)=2+18 \Rightarrow 5x=20\).
Sistema equivalente \(S’: \begin{cases} x+y=6\\ 5x=20 \end{cases}\Rightarrow x=4,\,y=2\).
Conclusão: \(S\) e \(S’\) têm a mesma solução.
Quando NÃO são equivalentes
\(\begin{cases}x-2y=2\\2x-4y=0\end{cases}\) versus \(\begin{cases}x-2y=2\\2x-4y=4\end{cases}\).
Dobrar a 1ª produz \(2x-4y=4\) — não coincide com \(0\). O primeiro é SI e o segundo é consistente: não equivalentes.
Sistema 2×3 simplificado por equivalência
\(S:\ \begin{cases}x+y+z=3\\ 2x-y+z=1\end{cases}\).
Com Combinação \(L_2\leftarrow L_2-2L_1\Rightarrow -3y=-5\Rightarrow y=\tfrac{5}{3}\).
Equivalente a \(\begin{cases}x+y+z=3\\ y=\tfrac{5}{3}\end{cases}\Rightarrow x+z=\tfrac{4}{3}\).
Parametrização: \((x,y,z)=(\tfrac{4}{3}-t,\ \tfrac{5}{3},\ t)\).
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Baixar agora Ver mapas mentaisExercício 1. Qual sistema é equivalente a \( \{\,3x-y=7,\ x+2y=1\,\} \)?
- a) \( \{\,6x-2y=14,\ 2x+4y=2\,\} \)
- b) \( \{\,3x-y=7,\ x+2y=3\,\} \)
- c) \( \{\,3x-y=8,\ x+2y=1\,\} \)
- d) \( \{\,3x-y=7,\ 2x+4y=4\,\} \)
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Em (a) multiplicamos ambas as equações por \(2\) (constante não nula) → equivalente. Nas demais, o termo independente mudou sem proporcionalidade. Resposta: a).
Exercício 2. A partir de \(S=\{\,x+y+z=6,\ 2x+3y+z=10,\ -x+2y+3z=5\,\}\), aplique Gauss até um sistema equivalente escalonado e resolva.
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Matriz aumentada \(\begin{bmatrix}1&1&1|6\\2&3&1|10\\-1&2&3|5\end{bmatrix}\). \(L_2\leftarrow L_2-2L_1\Rightarrow[0,1,-1|-2]\); \(L_3\leftarrow L_3+L_1\Rightarrow[0,3,4|11]\). \(L_3\leftarrow L_3-3L_2\Rightarrow[0,0,7|17]\). Retrosubstituição: \(z=\tfrac{17}{7}\), \(y=\tfrac{3}{7}\), \(x=\tfrac{22}{7}\).
Exercício 3. Em \(S=\{\,x+2y=7,\ 3x-y=5\,\}\), aplique \(L_2\leftarrow L_2-3L_1\). São equivalentes? Resolva \(S\).
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\(L_2-3L_1\Rightarrow -7y=-16\Rightarrow y=\tfrac{16}{7}\). \(x=7-2\cdot\tfrac{16}{7}=\tfrac{17}{7}\). Operação elementar ⇒ sistemas equivalentes. Solução: \(\big(\tfrac{17}{7},\tfrac{16}{7}\big)\).
Exercício 4. \(S_1=\{\,2x+4y=8,\ x-y=1\,\}\) e \(S_2=\{\,x-y=1,\ 2x+4y=8\,\}\) são equivalentes?
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Sim. Apenas trocamos a ordem das equações (\(L_1\leftrightarrow L_2\)). Conjunto solução preservado.
Exercício 5. Qual operação não preserva equivalência?
- a) \(L_2 \leftarrow L_2 + 5L_1\)
- b) \(L_1 \leftrightarrow L_3\)
- c) \(L_1 \leftarrow 0\cdot L_1\)
- d) \(L_3 \leftarrow -2L_3\)
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Multiplicar por \(0\) destrói a equação e altera o conjunto solução. Resposta: c).
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Conclusão
Sistemas equivalentes são a base da eliminação de Gauss: com trocas, escalas e combinações de linhas, transformamos um sistema em outro mais simples sem mudar as soluções. Isso acelera a classificação (SPD, SI, SPI) e a resolução em provas.
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