Determinantes 2×2

O determinante de uma matriz \(2\times2\) é a “regra do produto cruzado”: para \(M=\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}\), \(\det(M)=ad-bc\). Ele aparece em tudo: solução de sistemas 2×2 (Cramer), classificação (SPD, SI, SPI) e até na área de paralelogramos no plano. Nesta página você encontra definição, propriedades, exemplos e exercícios. Para continuar, veja também: A·x=b, matriz aumentada e Gauss (escalonamento).

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Um resumo direto com \(ad-bc\), Sarrus (3×3), Rouché–Capelli e passo a passo de Cramer e Gauss. Ótimo para revisão rápida antes da prova.

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Definição e leitura pelas diagonais

Para \(M=\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}\),

\(\displaystyle \det(M)=ad-bc\)

Diagonal principal: \(a\rightarrow d\) (produto \(ad\)).
Diagonal secundária: \(b\rightarrow c\) (produto \(bc\)).
Subtraia: principal − secundária.

Propriedades essenciais (2×2)

Trocar duas linhas (ou colunas) muda o sinal do determinante.
Multiplicar uma linha por \(k\) multiplica o determinante por \(k\).
Se duas linhas (ou colunas) forem proporcionais, então \(\det=0\).
\(\det(A^T)=\det(A)\) e \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\).
Matriz triangular \(2\times2\): \(\det=\) produto dos elementos da diagonal (ex.: \(\begin{bmatrix}a&*\\0&d\end{bmatrix}\Rightarrow ad\)).

Ligação com sistemas lineares (Regra de Cramer)

Para o sistema \(\begin{cases} a x + b y = e\\ c x + d y = f \end{cases}\) defina \(D=\det\!\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}=ad-bc\).

Se \(D\neq0\) ⇒ SPD e \(\displaystyle x=\frac{\det\!\begin{bmatrix}e&b\\ f&d\end{bmatrix}}{D}=\frac{ed-bf}{D},\ y=\frac{\det\!\begin{bmatrix}a&e\\ c&f\end{bmatrix}}{D}=\frac{af-ce}{D}\).
Se \(D=0\) ⇒ SI ou SPI; decida por proporcionalidade dos tripletos \((a,b,e)\) e \((c,d,f)\) ou escalonando \([A\mid\mathbf{b}]\).

Exemplos resolvidos

1) Cálculo simples de determinante

\(M=\begin{bmatrix}5&4\\3&7\end{bmatrix}\Rightarrow \det(M)=5\cdot7-4\cdot3=35-12=23\).

2) Resolver um sistema 2×2

\(\begin{cases}5x+4y=1\\3x+7y=2\end{cases}\). Aqui \(D=23\), \(D_x=1\cdot7-4\cdot2=-1\), \(D_y=5\cdot2-3\cdot1=7\).

Solução: \(x=-\dfrac{1}{23},\ y=\dfrac{7}{23}\). Verificação: \(5(-1/23)+4(7/23)=1\) e \(3(-1/23)+7(7/23)=2\) ✔️.

3) Classificação com parâmetros

\(\begin{cases}kx+2y=4\\3x+6y=m\end{cases}\). \(D=6(k-1)\).

\(k\neq1\): SPD, \(x=\dfrac{12-m}{3(k-1)},\ y=\dfrac{km-12}{6(k-1)}\).
\(k=1\): \(D=0\). Se \(m=12\) ⇒ SPI (equações equivalentes); se \(m\neq12\) ⇒ SI.

Exercícios (com gabarito)

1) Calcule \(\det\!\begin{bmatrix}-2&5\\ 7&3\end{bmatrix}\).

Gabarito

\((-2)\cdot3-5\cdot7=-6-35=-41\).

2) Resolva \(\{\,2x-3y=4,\ x+5y=1\,\}\) por Cramer.

Gabarito

\(D=2\cdot5-(-3)\cdot1=13\); \(D_x=4\cdot5-(-3)\cdot1=23\); \(D_y=2\cdot1-1\cdot4=-2\). \(x=\tfrac{23}{13},\ y=-\tfrac{2}{13}\).

3) Discuta \(\{\,2x+4y=p,\ x+2y=q\,\}\).

Gabarito

\(D=0\). Se \(p=2q\) ⇒ SPI; se \(p\neq2q\) ⇒ SI.

4) Usando \((ad-bc)\,y=af-ce\), encontre \(y\) para \(a=2,\ b=-1,\ c=5,\ d=3,\ e=7,\ f=-4\).

Gabarito

\((2\cdot3-(-1)\cdot5)\,y=2(-4)-5\cdot7 \Rightarrow 11y=-43 \Rightarrow y=-\tfrac{43}{11}\).

5) A matriz \(T=\begin{bmatrix}k&0\\0&3\end{bmatrix}\) é triangular. Determine \(\det(T)\).

Gabarito

\(\det(T)=k\cdot3=3k\).

6) Mostre que trocar as colunas de \(\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}\) inverte o sinal do determinante.

Gabarito

\(\det\!\begin{bmatrix}b&a\\ d&c\end{bmatrix}=bc-ad=-(ad-bc)\).

Conclusão

Para \(2\times2\), memorize \(ad-bc\): ele decide se há solução única (Cramer), detecta SI/SPI quando zero e ainda mede a área (módulo) do paralelogramo gerado pelas colunas da matriz. Com essa base, avance para Sarrus (3×3) e para o escalonamento de sistemas maiores.

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