Função Logarítmica
A função logarítmica de base \(a\) (com \(a>0\) e \(a\neq 1\)) é a aplicação \(\;f:\mathbb{R}_{+}^{*}\to\mathbb{R}\;\) definida por
\( \displaystyle f(x)=\log_a x \qquad (x>0) \)
Domínio, imagem e características
Relação com o \( \ln x \) (log natural)
Pela mudança de base, \( \displaystyle \log_a x=\frac{\ln x}{\ln a} \). Assim, estudar \(f(x)=\log_a x\) equivale a estudar \( \ln x \) com um fator de escala \( 1/\ln a \).
📘 eBook de Fórmulas Matemáticas — todas as propriedades de logaritmos + resumos práticosConstrução do gráfico
- Marque o ponto fixo \( (1,0) \).
- Se \(a>1\), o gráfico é crescente e passa por \( (a,1) \).
- Se 0 < a < 1, o gráfico é decrescente e passa por \( (a,1) \) (com \(a<1\)).
- Quanto mais perto de \(0\) estiver \(x\), mais \( \log_a x \) tende a \(-\infty\).
Transformações usuais
Para \( y = b\cdot \log_a(k(x-h)) + d \):
- Translação para a direita em \(h\) e para cima em \(d\).
- Escalas: estica/achata vertical por \(b\) e horizontal por \(1/k\).
- Fecho de domínio: exige \( k(x-h)>0 \).
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Determine \(f(1)\), \(f(a)\) e \(f(a^2)\) para \( f(x)=\log_a x \) com \( a>1\).
\( f(1)=\log_a 1=0 \). \( f(a)=\log_a a=1 \). \( f(a^2)=\log_a (a^2)=2 \). Os pontos \( (1,0),(a,1),(a^2,2) \) ajudam a traçar o gráfico.
Exemplo 2 — Resolva \( \log_3(x-1)=2 \).
Pela definição: \( x-1 = 3^2 \Rightarrow x=10 \). Checagem do domínio: \( x-1>0 \Rightarrow x>1 \) (ok).
Exemplo 3 — Resolva a desigualdade \( \log_{1/2}(x) > -1 \).
Como 0 < a < 1 (base decrescente), ao “deslogaritmar” a desigualdade inverte o sentido:
\( x < (1/2)^{-1}=2 \). Além disso, \( x>0 \).
Logo, solução: \( 0
Exercícios de múltipla escolha
1) O domínio de \( f(x)=\log_{5}(2x-4) \) é:
- a) \( x\in\mathbb{R} \)
- b) \( x>2 \)
- c) \( x\ge 2 \)
- d) \( x<2 \)
Ver solução
Exige \( 2x-4>0 \Rightarrow x>2 \). Alternativa b.
2) Para \( a>1 \), a função \( f(x)=\log_a x \) é:
- a) Par
- b) Ímpar
- c) Crescente
- d) Decrescente
Ver solução
Crescente. Alternativa c.
3) A assíntota vertical do gráfico de \( y=\log_a x \) é:
- a) \(y=0\)
- b) \(x=0\)
- c) \(x=1\)
- d) \(y=1\)
Ver solução
Reta \(x=0\). Alternativa b.
4) Resolva \( \log_4(3x)=\tfrac{1}{2} \).
- a) \( x=\dfrac{1}{3} \)
- b) \( x=\dfrac{2}{3} \)
- c) \( x=\dfrac{4}{3} \)
- d) \( x=2 \)
Ver solução
\( 3x=4^{1/2}=2 \Rightarrow x=2/3 \). Alternativa b.
5) Para 0 < a < 1 , assinale a correta:
- a) \( \log_a x \) é crescente
- b) \( \log_a x \) é decrescente
- c) \( \log_a 1=1 \)
- d) Domínio é \( (-\infty,\infty) \)
Ver solução
A função é decrescente. Alternativa b.
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