Equação Geral da Reta

Equação Geral da Reta — Fórmula, Definição e Exercícios

A equação geral da reta é uma das formas mais utilizadas para representar retas no plano cartesiano. Essa forma é especialmente útil porque permite identificar facilmente o coeficiente angular e realizar comparações entre diferentes retas, como paralelismo e perpendicularidade.

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📘 Definição

Todas as equações das retas podem ser expressas na forma:

\( Ax + By + C = 0 \)

onde \( A \), \( B \) e \( C \) são números reais, e simultaneamente diferentes de zero.

📐 Coeficiente Angular

O coeficiente angular \( m \) indica a inclinação da reta em relação ao eixo \( X \). Na equação geral, ele é calculado por:

\( m = -\dfrac{A}{B} \)

Observe que, se \( B = 0 \), a reta é vertical e não possui coeficiente angular definido.

💡 Dica: Se você transformar a equação geral na forma explícita \( y = mx + n \), o valor de \( m \) será o mesmo encontrado por \( -A/B \).

🧩 Exemplo Resolvido 1

Exemplo: Determine o coeficiente angular da reta dada pela equação \( 2x + 3y – 9 = 0 \).

Resolução:

\( m = -\dfrac{A}{B} = -\dfrac{2}{3} \)

Resposta: O coeficiente angular é \( m = -\dfrac{2}{3} \).

🧮 Exemplo Resolvido 2

Encontre o coeficiente angular da reta \( 5x – 4y + 8 = 0 \).

Resolução:

\( m = -\dfrac{A}{B} = -\dfrac{5}{-4} = \dfrac{5}{4} \)

Resposta: \( m = \dfrac{5}{4} \)

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📚 Exercícios de Fixação

1. Calcule o coeficiente angular da reta \( 3x + 2y – 6 = 0 \).

\( m = -\dfrac{A}{B} = -\dfrac{3}{2} \)

2. Determine o coeficiente angular da reta \( -4x + y + 5 = 0 \).

\( m = -\dfrac{-4}{1} = 4 \)

3 (Múltipla escolha). O coeficiente angular da reta \( 7x – 2y + 10 = 0 \) é:

A) \( \dfrac{2}{7} \)
B) \( -\dfrac{2}{7} \)
C) \( \dfrac{7}{2} \)
D) \( -\dfrac{7}{2} \)

\( m = -\dfrac{A}{B} = -\dfrac{7}{-2} = \dfrac{7}{2} \) ✅ Alternativa correta: C)

🔥 Exercícios Desafiadores

4. (Desafio 1) Encontre a equação geral da reta que tem coeficiente angular \( m = 2 \) e passa pelo ponto \( P(1, 3) \).

A equação genérica de uma reta é \( y – y_1 = m(x – x_1) \): \( y – 3 = 2(x – 1) \Rightarrow y – 3 = 2x – 2 \Rightarrow 2x – y + 1 = 0 \). Resposta: \( 2x – y + 1 = 0 \)

5. (Desafio 2) Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos \( A(2, 3) \) e \( B(6, 5) \).

Primeiro, calcule o coeficiente angular: \( m = \dfrac{5 – 3}{6 – 2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \). Agora, usando \( y – y_1 = m(x – x_1) \): \( y – 3 = \dfrac{1}{2}(x – 2) \Rightarrow 2y – 6 = x – 2 \Rightarrow x – 2y + 4 = 0 \). Resposta: \( x – 2y + 4 = 0 \)

6. (Desafio 3) Verifique se as retas \( 2x – 3y + 6 = 0 \) e \( 4x – 6y – 10 = 0 \) são paralelas.

\( m_1 = -\dfrac{2}{-3} = \dfrac{2}{3} \)
\( m_2 = -\dfrac{4}{-6} = \dfrac{2}{3} \)
Como \( m_1 = m_2 \), ✔️ as retas são **paralelas**.

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.