O fatorial, representado por n!, é um dos conceitos fundamentais da Análise Combinatória. Ele aparece naturalmente em problemas de contagem, organização e escolha, sendo indispensável em temas como arranjo simples, combinação simples e permutação simples.
O que é fatorial?
O fatorial de um número natural positivo n é o produto de todos os naturais positivos menores ou iguais a n.
Por definição:
\[ 1! = 1 \quad \text{e} \quad 0! = 1 \]Por que o fatorial é tão importante?
O fatorial surge diretamente do Princípio Fundamental da Contagem , quando as escolhas vão diminuindo etapa a etapa.
Ele é base para:
- Permutação simples
- Permutação com repetição
- Arranjo simples
- Combinação simples
- Número binomial
- Triângulo de Pascal
Exemplos rápidos
Exemplo 1: Calcule \(5!\)
\[ 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \]Exemplo 2: \(\dfrac{8!}{6!}\)
\[ \frac{8!}{6!}=\frac{8\cdot 7 \cdot 6!}{6!}=56 \]Exercícios (os da imagem) com solução
R1. Efetue os cálculos
a) \(\dfrac{10!}{8!}\)
Ver solução
b) \(\dfrac{5!}{2!+3!}\)
Ver solução
R2. Simplifique a expressão
\(\dfrac{(n+1)!}{(n-2)!}\)
Ver solução
R3. Resolva a equação
\(\dfrac{(n+2)!}{5\cdot n!}=4\)
Ver solução
Como \(n\) é natural (fatorial), vale: \(\boxed{n=3}\).
Relação com ENEM e concursos
Questões de fatorial aparecem em contagem de possibilidades, senhas, filas, anagramas e escolhas, normalmente conectadas ao Princípio Fundamental da Contagem e aos tópicos de Análise Combinatória.
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