Arcos Congruentes
Na geometria da circunferência, chamamos de arcos congruentes aqueles que possuem a mesma medida angular. Eles podem estar na mesma circunferência ou em circunferências diferentes, desde que tenham o mesmo raio.
Definição
Dois arcos são congruentes se possuem a mesma medida em graus ou radianos.
Propriedades
- Arcos congruentes determinam ângulos centrais iguais.
- Se pertencem a circunferências diferentes, estas devem ser congruentes (ter o mesmo raio).
- Arcos congruentes subtendem cordas de mesmo comprimento.
Exemplo resolvido
Exemplo:
Na circunferência de raio 5 cm, considere o arco \(AB\) medindo \(60^\circ\). Qual o comprimento desse arco? E se construirmos outro arco congruente \(CD\), qual será o seu comprimento?
Solução:
O comprimento de um arco é dado por:
\( \ell = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r \)
Substituindo: \( \ell = \frac{60}{360} \cdot 2\pi \cdot 5 = \frac{1}{6} \cdot 10\pi = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3} \, \text{cm} \).
Como os arcos são congruentes, o arco \(CD\) também mede \(\frac{5\pi}{3}\) cm.
📘 Exercícios de múltipla escolha
1) Em uma circunferência de raio 4 cm, dois arcos congruentes medem \(90^\circ\). O comprimento de cada arco é:
- \(2\pi \, \text{cm}\)
- \(\pi \, \text{cm}\)
- \(\frac{\pi}{2} \, \text{cm}\)
- \(4\pi \, \text{cm}\)
Ver solução
\(\ell = \frac{90}{360} \cdot 2\pi \cdot 4 = \frac{1}{4} \cdot 8\pi = 2\pi\). Correto: A.
2) Dois arcos de medidas \(120^\circ\) são congruentes. O que podemos afirmar?
- Subtendem ângulos centrais iguais.
- Possuem cordas de mesmo comprimento.
- Podem estar em circunferências diferentes, desde que tenham o mesmo raio.
- Todas as alternativas
Ver solução
Correta: D. Todas as afirmações são propriedades de arcos congruentes.
Links úteis
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O estudo de arcos congruentes é essencial para dominar problemas de geometria envolvendo circunferências.
