Área de um Triângulo no Plano Cartesiano

Área de um Triângulo no Plano Cartesiano — Fórmula e Exercícios Resolvidos

A área de um triângulo no plano cartesiano pode ser calculada a partir das coordenadas dos vértices. Essa técnica é especialmente útil em Geometria Analítica, pois evita o uso direto de medidas de lados e alturas, utilizando o determinante das coordenadas.

Área de um triângulo no plano cartesiano - matematicaoje.blog

📘 Fórmula Geral

Sejam os vértices \( A(x_a, y_a) \), \( B(x_b, y_b) \) e \( C(x_c, y_c) \). A área \( S \) é dada por:

\( S = \frac{1}{2} \cdot |d| \)

onde \( d \) é o determinante formado pelas coordenadas:

\( d = \begin{vmatrix} x_a & y_a & 1 \\ x_b & y_b & 1 \\ x_c & y_c & 1 \end{vmatrix} \)

🧮 Regra de Sarrus e Desenvolvimento

Pela Regra de Sarrus, temos:

\( d = x_a y_b + y_a x_c + x_b y_c – x_c y_b – y_c x_a – x_b y_a \)

Logo, a fórmula final é:

\( S = \frac{1}{2} |x_a y_b + y_a x_c + x_b y_c – x_c y_b – y_c x_a – x_b y_a| \)

O valor absoluto garante que a área seja sempre positiva, independentemente da ordem dos vértices.

💡 Essa é uma das aplicações mais elegantes do cálculo de determinantes na Geometria Analítica.

📐 Exemplo 1 — Nível Fácil

Exemplo: Calcule a área do triângulo com vértices \( A(0, 0) \), \( B(4, 0) \) e \( C(0, 3) \).

\[ S = \frac{1}{2} |0\cdot0 + 0\cdot0 + 4\cdot3 – 0\cdot0 – 3\cdot0 – 0\cdot4| = \frac{1}{2} |12| = 6 \] ✅ A área do triângulo é **6 unidades²**.

📐 Exemplo 2 — Nível Médio

Exemplo: Encontre a área do triângulo com vértices \( A(1, 2) \), \( B(5, 6) \) e \( C(6, 1) \).

\[ S = \frac{1}{2} |1\cdot6 + 2\cdot6 + 5\cdot1 – 6\cdot6 – 1\cdot1 – 5\cdot2| \] \[ S = \frac{1}{2} |6 + 12 + 5 – 36 – 1 – 10| = \frac{1}{2} |-24| = 12 \] ✅ A área do triângulo é **12 unidades²**.

📐 Exemplo 3 — Nível Avançado

Exemplo: Calcule a área do triângulo determinado pelos pontos \( A(-3, 1) \), \( B(2, 4) \) e \( C(5, -2) \).

Aplicando a fórmula: \[ S = \frac{1}{2} |-3\cdot4 + 1\cdot5 + 2\cdot(-2) – 5\cdot4 – (-2)\cdot(-3) – 2\cdot1| \] \[ S = \frac{1}{2} |-12 + 5 – 4 – 20 – 6 – 2| = \frac{1}{2} |-39| = 19{,}5 \] ✅ A área é **19,5 unidades²**.

📘 Exemplo 4 — Nível Desafio

Exemplo: Determine a área do triângulo formado pelos pontos \( A(-2, -3) \), \( B(4, 5) \) e \( C(6, -2) \).

\[ S = \frac{1}{2} |-2\cdot5 + (-3)\cdot6 + 4\cdot(-2) – 6\cdot5 – (-2)\cdot(-2) – 4\cdot(-3)| \] \[ S = \frac{1}{2} |-10 – 18 – 8 – 30 – 4 + 12| = \frac{1}{2} |-58| = 29 \] ✅ A área do triângulo é **29 unidades²**.

📘 eBook Fórmulas Matemática — Guia Completo de Estudos

Domine todas as fórmulas de Matemática com o eBook Fórmulas Matemática, ideal para revisões rápidas, provas e concursos. Visual, completo e gratuito!

📥 Baixar Agora — Grátis

📚 Continue Estudando

Relacionadas

Distância entre Dois Pontos

Fórmula do Ponto Médio

Distância de um ponto a uma reta

"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.