Álgebra Linear
Na aula de hoje, vamos explorar um dos tópicos fundamentais da Álgebra Linear: a Base e a Mudança de Base. Esses conceitos são cruciais para entendermos como descrever vetores e como mudar de um sistema de referência para outro.
O que é uma Base?
Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo o espaço. Em termos simples, uma base é como um conjunto de direções de referência que permite localizar qualquer vetor do espaço por meio de uma combinação linear.
Por exemplo, o vetor:
pode ser escrito como:
Vetores Linearmente Independentes
Para que um conjunto de vetores forme uma base, eles não podem ser combinações lineares uns dos outros. Por exemplo, os vetores:
são dependentes, pois:
Espaços de Dimensão Maior
Em \(\mathbb{R}^3\), uma base é composta por três vetores linearmente independentes. A base canônica é:
Assim, qualquer vetor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\) é escrito como:
Mudança de Base
A mudança de base ocorre quando descrevemos um vetor em um novo sistema de referência, alterando suas coordenadas, mas mantendo sua posição geométrica.
Para realizar essa mudança, usamos a matriz de transição:
Exemplo de Mudança de Base
Dados:
Resolução:
- Formamos as matrizes:
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \]
- Calculamos \(B^{-1}\):
\[ B^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \]
- Calculamos a matriz de transição:
\[ P_{B \leftarrow A} = B^{-1} A = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{3} \\ 1 & -\frac{2}{3} \end{pmatrix} \]
- Finalmente:
\[ [v]_B = P_{B \leftarrow A} [v]_A = \begin{pmatrix} 1.67 \\ 0.67 \end{pmatrix} \]
Aplicações
- Computação Gráfica: Transformações de coordenadas em ambientes 3D.
- Engenharia: Troca de referenciais em sistemas de forças.
- Ciência de Dados: PCA (Análise de Componentes Principais) para simplificar dados.
- Física: Descrição de movimentos em referenciais diferentes.
10 Exercícios Resolvidos – Base e Mudança de Base
Exercício 1: Determine se os vetores \(u = (1, 2)\) e \(v = (2, 4)\) formam uma base de \(\mathbb{R}^2\).
Para formar uma base, os vetores devem ser linearmente independentes. Observamos que:
Logo, eles são linearmente dependentes e não formam uma base.
Exercício 2: Verifique se os vetores \(u=(1,0)\) e \(v=(0,1)\) formam uma base de \(\mathbb{R}^2\).
Os vetores \(u\) e \(v\) são linearmente independentes e qualquer vetor \((x,y)\in \mathbb{R}^2\) pode ser escrito como:
Portanto, eles formam a base canônica de \(\mathbb{R}^2\).
Exercício 3: Determine se \(u=(1,1)\) e \(v=(1,-1)\) formam base em \(\mathbb{R}^2\).
O determinante da matriz \(\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}\) é:
Logo, os vetores são independentes e formam uma base de \(\mathbb{R}^2\).
Exercício 4: Verifique se \(u=(2,3)\), \(v=(1,-2)\) e \(w=(7,0)\) são linearmente dependentes.
Procuramos \(a, b\) tais que \(a u + b v = w\).
Temos o sistema:
\(\; 3a – 2b = 0 \;\)
Resolvendo, obtemos \(a=2\) e \(b=3\). Assim, \(w = 2u + 3v\), mostrando dependência linear.
Exercício 5: Determine as coordenadas do vetor \(v=(4,5)\) na base \(B=\{(1,1),(1,-1)\}\).
Queremos \(v = a(1,1) + b(1,-1)\).
O sistema é:
\(\; a – b = 5 \;\)
Somando: \(2a=9 \Rightarrow a=4.5\). Substituindo: \(b=-0.5\).
Logo, \([v]_B = (4.5, -0.5).\)
Exercício 6: Encontre a matriz de mudança de base de \(A=\{(1,0),(0,1)\}\) para \(B=\{(1,1),(1,-1)\}\).
A matriz \(B\) é \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \).
A matriz de transição \(P_{B \leftarrow A} = B^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & -0.5 \end{pmatrix}.\)
Exercício 7: Calcule as coordenadas de \(v=(3,2)\) na base \(B=\{(2,1),(1,1)\}\).
Queremos \(v = a(2,1) + b(1,1)\).
O sistema é:
\(a + b = 2\)
Subtraindo, obtemos \(a=1\), \(b=1\).
Logo, \([v]_B = (1,1).\)
Exercício 8: Seja \(B=\{(1,2),(2,3)\}\). Mostre que \(B\) é uma base de \(\mathbb{R}^2\).
A matriz formada é \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \).
O determinante é \(1 \cdot 3 – 2 \cdot 2 = 3 – 4 = -1 \neq 0\).
Portanto, os vetores são independentes e formam uma base.
Exercício 9: Use a regra de Cramer para resolver o sistema: \[ \begin{cases} x + y = 3 \\ 2x – y = 0 \end{cases} \]
A matriz dos coeficientes é \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\) com \(\det(A) = -3.\)
Determinantes parciais:
Solução: \(x = D_x / D = 1, \, y = D_y / D = 2.\)
Exercício 10: Resolva por Cramer: \[ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x – y = 4 \end{cases} \]
Temos \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}, \det(A) = -7.\)
Determinantes:
Solução: \(x = \frac{-13}{-7} = \frac{13}{7}, \, y = \frac{-11}{-7} = \frac{11}{7}.\)
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