Centro de Massa e Integrais Duplas
1. Introdução
Nesta aula, estudamos o centro de massa (ou centro de gravidade) de uma placa com distribuição de densidade. Esse conceito está diretamente relacionado aos momentos que vimos anteriormente e é essencial em problemas de física e geometria.
2. Revisão de Momento
Para um sistema de massas \( m_i \) localizadas em pontos \( x_i \), o momento em relação a um ponto \( x_0 \) é:
Em duas dimensões, generalizamos o conceito usando densidade \( \rho(x,y) \) e integrais duplas.
3. Centro de Massa de uma Placa
O centro de massa \( G(x_G, y_G) \) é o ponto onde:
- O momento em relação à reta \( x = x_G \) é zero;
- O momento em relação à reta \( y = y_G \) é zero.
As fórmulas são:
onde:
4. Exemplo 1 – Placa Quadrada
Placa: Quadrado \( 0 \le x \le 1, \ 0 \le y \le 1 \) com densidade \( \rho(x,y) = y \).
Passo 1: Massa total:
Passo 2: Momento em relação a \( x=0 \):
Passo 3: Momento em relação a \( y=0 \):
Centro de massa:
Portanto, \( G = \left(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right) \).
5. Exemplo 2 – Placa Semicircular
Placa: Região \( x^2 + y^2 \le 4 \) com \( x \ge 0 \), densidade \( \rho(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2} \).
Observação: Por simetria, \( y_G = 0 \).
Passo 1: Massa total:
Passo 2: Momento em relação a \( x=0 \):
Centro de massa:
6. Conclusão
O cálculo do centro de massa exige a determinação da massa total e dos momentos em relação aos eixos. Em figuras simétricas, a análise qualitativa (simetria) pode reduzir consideravelmente o trabalho.
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