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Comprimento da Circunferência

Comprimento da Circunferência — fórmulas, exemplos e exercícios

Comprimento da Circunferência

O comprimento da circunferência (também chamado de perímetro do círculo) é a medida total da sua borda. As fórmulas principais são \(C=2\pi r\) e \(C=\pi d\).

Circunferência com raio r e diâmetro d
Se \(r\) é o raio e \(d=2r\) é o diâmetro, então \(C=2\pi r=\pi d\).
Estude em conjunto: Área do Círculo, Área do Setor Circular, Lei dos Senos e Polígonos Regulares.

Fórmulas (empilhadas e destacadas)

\[ \textbf{1) Por raio:}\quad \boxed{C=2\pi r} \]
\[ \textbf{2) Por diâmetro }(d=2r):\quad \boxed{C=\pi d} \]
\[ \textbf{3) Arco de circunferência em graus }(\alpha):\quad \boxed{L=\frac{\alpha}{360^\circ}\,2\pi r} \]
\[ \textbf{4) Arco em radianos }(\theta):\quad \boxed{L=r\theta} \]

As fórmulas de arco (3 e 4) são equivalentes porque \(\theta=\dfrac{2\pi\alpha}{360^\circ}\).

Quadro-resumo (para imprimir)

Fórmulas principais de comprimento da circunferência e arco:

\[ \textbf{Circunferência (por raio):}\quad \boxed{C=2\pi r} \]
\[ \textbf{Circunferência (por diâmetro):}\quad \boxed{C=\pi d}\quad (d=2r) \]
\[ \textbf{Arco (ângulo em graus }\alpha\text{):}\quad \boxed{L=\frac{\alpha}{360^\circ}\,2\pi r} \]
\[ \textbf{Arco (ângulo em radianos }\theta\text{):}\quad \boxed{L=r\theta} \]
\[ \text{Conversão:}\quad \theta=\frac{\pi}{180^\circ}\,\alpha \]

Dica: use \(C=2\pi r\) quando o dado for o raio; \(C=\pi d\) quando tiver o diâmetro; para arcos, escolha diretamente a fórmula no mesmo sistema do ângulo (graus ou radianos).

Exemplos resolvidos (situação-problema)

1

Pneu de bicicleta — raio conhecido

O modelo reduzido de um pneu tem raio \(r=0{,}35\,\text{m}\).

Dados
\(r=0{,}35\,\text{m}\).

Qual é o comprimento dessa circunferência?

Ver solução
\[ \begin{aligned} C&=2\pi r\\ &=2\pi\cdot 0{,}35\\ &=0{,}70\pi\\ &\approx \boxed{2{,}199\ \text{m}} \end{aligned} \]
2

Pista circular — diâmetro informado

Uma pista circular tem diâmetro \(d=1{,}2\,\text{km}\).

Dados
\(d=1{,}2\,\text{km}\).

Qual é o comprimento da pista?

Ver solução
\[ \begin{aligned} C&=\pi d\\ &=\pi\cdot 1{,}2\\ &\approx \boxed{3{,}770\ \text{km}} \end{aligned} \]
3

Descobrindo o raio pelo perímetro

Uma fonte circular foi medida ao redor e resultou em \(C=62{,}8\,\text{m}\).

Dados
\(C=62{,}8\,\text{m}\).

Qual é o raio da fonte?

Ver solução
\[ \begin{aligned} C&=2\pi r \Rightarrow r=\frac{C}{2\pi}\\ r&=\frac{62{,}8}{2\pi}=\frac{62{,}8}{6{,}28318\ldots}\\ &\approx \boxed{10\ \text{m}} \end{aligned} \]
4

Arco em graus

Em um mostrador, o ponteiro percorre um arco de \(\alpha=54^\circ\) no círculo de raio \(r=10\,\text{cm}\).

Dados
\(r=10\,\text{cm}\), \(\alpha=54^\circ\).

Qual é o comprimento do arco?

Ver solução
\[ \begin{aligned} L&=\frac{\alpha}{360^\circ}\,2\pi r\\ &=\frac{54^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 10\\ &=\frac{3}{20}\cdot 20\pi\\ &=3\pi\\ &\approx \boxed{9{,}425\ \text{cm}} \end{aligned} \]

Erros comuns (e como evitar)

  • Trocar raio por diâmetro. Se o enunciado der \(d\), use \(C=\pi d\); se der \(r\), use \(C=2\pi r\).
  • Confundir graus e radianos. Em graus: \(L=\dfrac{\alpha}{360^\circ}2\pi r\). Em radianos: \(L=r\theta\).
  • Unidades. Converta antes de calcular (cm ↔ m ↔ km), depois arredonde.

Para aplicações com área, veja área do círculo e área do setor circular.

Exercícios (múltipla escolha)

1

Circunferência por raio

Um prato tem raio \(r=9\,\text{cm}\).

O comprimento da borda é:

  • A) \(36\ \text{cm}\)
  • B) \(18\pi\ \text{cm}\ (\approx 56{,}55)\)
  • C) \(9\pi\ \text{cm}\)
  • D) \(27\pi\ \text{cm}\)
Gabarito
\[ C=2\pi r=2\pi\cdot 9=\boxed{18\pi\ \text{cm}}\ (\text{B}) \]
2

Circunferência por diâmetro

Uma tampa circular tem diâmetro \(d=14\,\text{cm}\).

Seu comprimento é:

  • A) \(28\ \text{cm}\)
  • B) \(7\pi\ \text{cm}\)
  • C) \(14\pi\ \text{cm}\ (\approx 43{,}98)\)
  • D) \(21\pi\ \text{cm}\)
Gabarito
\[ C=\pi d=\pi\cdot 14=\boxed{14\pi\ \text{cm}}\ (\text{C}) \]
3

Encontrando o raio

Uma mesa circular possui comprimento de borda \(C=31{,}4\,\text{cm}\).

O raio da mesa é aproximadamente:

  • A) \(3{,}0\ \text{cm}\)
  • B) \(4{,}0\ \text{cm}\)
  • C) \(5{,}0\ \text{cm}\)
  • D) \(6{,}0\ \text{cm}\)
Gabarito
\[ r=\frac{C}{2\pi}=\frac{31{,}4}{6{,}28318\ldots}\approx \boxed{5{,}0\ \text{cm}}\ (\text{C}) \]
4

Arco em radianos

Um guindaste gira um cabo descrevendo arco com raio \(r=12\,\text{m}\) e ângulo \(\theta=1{,}3\ \text{rad}\).

O comprimento do arco percorrido é:

  • A) \(12{,}0\ \text{m}\)
  • B) \(13{,}0\ \text{m}\)
  • C) \( \mathbf{15{,}6\ \text{m}} \)
  • D) \(18{,}0\ \text{m}\)
Gabarito
\[ L=r\theta=12\cdot 1{,}3=\boxed{15{,}6\ \text{m}}\ (\text{C}) \]

Quer ir além? Confira área do círculo, área do setor e o nosso banco de questões.

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Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.
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