Critérios de Divisibilidade: regras rápidas, CONDIÇÃO final e exercícios
Os critérios de divisibilidade permitem decidir se um número é divisível por outro sem efetuar a divisão. Dominar essas regras acelera cálculos, facilita a fatoração, a simplificação de frações e a resolução de questões.
Contexto recomendado: Conjuntos Numéricos, Números Naturais e Números Inteiros.
📌 Sumário
O que são critérios de divisibilidade?
São regras baseadas nos algarismos ou em pequenas transformações do número, que permitem verificar divisibilidade de forma mental. Ex.: para saber se 3 456 é divisível por 3, some os algarismos: \(3+4+5+6=18\). Como 18 é múltiplo de 3, então 3 456 também é.
Base essencial: revise múltiplos e divisores (definição e exercícios), aprenda como calcular o MMC passo a passo e domine como encontrar o MDC (Euclides e fatoração).
Tabela-resumo dos critérios (2 a 11) e combinações úteis
| Divisor | Regra prática | Exemplo que divide | Exemplo que não divide |
|---|---|---|---|
| 2 | Termina em 0, 2, 4, 6, 8 | 248 | 135 |
| 3 | Soma dos algarismos é múltipla de 3 | 381 | 254 |
| 4 | Últimos 2 algarismos formam múltiplo de 4 | 7312 → 12 | 5426 → 26 |
| 5 | Termina em 0 ou 5 | 145 | 382 |
| 6 | Divisível por 2 e por 3 | 132 | 145 |
| 7 | Subtrair o dobro do último algarismo | 259 → 25−18=7 ✓ | 302 → 30−4=26 ✗ |
| 8 | Últimos 3 algarismos formam múltiplo de 8 | 7632 → 632 | 4518 → 518 |
| 9 | Soma dos algarismos é múltipla de 9 | 7992 | 2317 |
| 10 | Termina em 0 | 340 | 125 |
| 11 | |(soma ímpares) − (soma pares)| é múltipla de 11 | 7381 → 11 ✓ | 5246 → 1 ✗ |
- 12 ⇒ 3 e 4
- 15 ⇒ 3 e 5
- 18 ⇒ 2 e 9
- 20 ⇒ 4 e 5
Precisa decidir entre MMC ou MDC? Entenda a relação entre MMC e MDC.
- 25 ⇒ últimos 2 dígitos múltiplos de 25
- 125 ⇒ últimos 3 dígitos múltiplos de 125
- 1000 ⇒ termina com três zeros
Regras detalhadas com EXEMPLO e CONDIÇÃO
Por 2 paridade
Regra: termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.
Ex.: 2 468 ✓; 1 357 ✗.
Condição de divisibilidade: o último dígito deve ser par (0,2,4,6,8).
Por 3 soma de dígitos
Regra: some os algarismos e verifique se é múltiplo de 3.
Ex.: 5 331 → \(5+3+3+1=12\) → divide.
Condição de divisibilidade: \(\sum\) dos dígitos ≡ 0 (mod 3).
Por 4
Regra: olhar apenas os 2 últimos algarismos.
Ex.: 9 316 → “16” é múltiplo de 4 → divide.
Condição de divisibilidade: o número formado pelos dois últimos dígitos deve ser múltiplo de 4.
Por 5
Regra: termina em 0 ou 5.
Ex.: 3 705 ✓; 3 702 ✗.
Condição de divisibilidade: o último dígito deve ser 0 ou 5.
Por 6 combinação (2 e 3)
Regra: precisa ser par e a soma de dígitos precisa ser múltipla de 3.
Ex.: 1 734 → par e \(1+7+3+4=15\) → divide.
Condição de divisibilidade: satisfazer simultaneamente os critérios de 2 e 3.
Por 7 técnica do dobro
Regra prática: tome o último dígito, dobre-o e subtraia do número que sobra. Repita até obter um valor pequeno.
Ex. 1 (divide): 259 → \(25 – 2\cdot9 = 25 – 18 = 7\) → múltiplo de 7 → divide.
Ex. 2 (não divide): 302 → \(30 – 2\cdot2 = 26\) → não é múltiplo de 7.
Condição de divisibilidade: após repetir o processo, o resultado deve ser múltiplo de 7 (inclui 0, 7, 14, 21, …). Se não chegar a múltiplo de 7, o número não é divisível por 7.
Por 8
Regra: observar os 3 últimos dígitos.
Ex.: 10 248 → “248” = 31×8 → divide.
Condição de divisibilidade: o número formado pelos três últimos dígitos deve ser múltiplo de 8.
Por 9
Regra: soma de algarismos múltipla de 9.
Ex.: 4 914 → \(4+9+1+4=18\) → divide.
Condição de divisibilidade: \(\sum\) dos dígitos ≡ 0 (mod 9).
Por 10
Regra: termina em 0.
Ex.: 12 340 ✓; 12 345 ✗.
Condição de divisibilidade: o último dígito deve ser 0.
Por 11 alterna pares/ímpares
Regra: \(|(soma\ nas\ posições\ ímpares) – (soma\ nas\ pares)|\) deve ser múltipla de 11.
Ex. (divide): 7 381 → \((7+8)-(3+1)=11\) → divide.
Ex. (não divide): 5 246 → \((5+4)-(2+6)=1\) → não divide.
Condição de divisibilidade: a diferença absoluta entre as somas alternadas deve ser 0, 11, 22, …
Ponte de estudo: Estes testes se conectam diretamente a MMC (decomposição em primos) e MDC (Euclides e fatoração). Reforce a base em múltiplos e divisores.
Estratégias de prova
- Memorize os “top 5”: 2, 3, 5, 9 e 10.
- Combine testes: 6 (2 e 3), 12 (3 e 4), 15 (3 e 5), 18 (2 e 9)…
- Olhe o final: 4 (2 díg.), 8 (3 díg.), 25 (2 díg.), 125 (3 díg.).
- Economize tempo: não faça divisões longas quando um critério já resolve.
Exercícios (com solução em toggle)
Ex. 1. Sem dividir, verifique se 74 970 é divisível por 9.
Ver solução
Soma: \(7+4+9+7+0=27\) → múltiplo de 9.
Resposta: Sim.
Ex. 2. 1 428 é divisível por 4 e por 8?
Ver solução
Para 4, “28” → \(28\div4=7\) → sim. Para 8, “428” → \(428\div8=53{,}5\) → não inteiro.
Resposta: 4 ✓; 8 ✗.
Ex. 3. Teste 520 125 para 3, 5 e 6.
Ver solução
5: termina em 5 → ✓. 3: soma \(=15\) → ✓. 6: precisa ser par e múltiplo de 3 → não é par → ✗.
Ex. 4. Verifique 203 por 7 (técnica do dobro).
Ver solução
\(20 – 2\cdot3 = 14\) → múltiplo de 7 → divide.
Ex. 5. 7 381 é divisível por 11?
Ver solução
Ímpares: \(7+8=15\); pares: \(3+1=4\). Diferença \(=11\) → divide.
Rotas de aprofundamento (MMC, MDC, Múltiplos e Divisores)
Ferramentas de estudo (links de indicação)
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Perguntas frequentes
Quando usar MMC e quando usar MDC?
Use o MMC para igualar denominadores e alinhar ciclos; use o MDC para simplificar frações e dividir em partes iguais. Veja exemplos na relação MMC × MDC.
Existe critério rápido para 12, 15, 18…?
Sim. Combine: 12 ⇒ 3 e 4; 15 ⇒ 3 e 5; 18 ⇒ 2 e 9; 20 ⇒ 4 e 5 — ligação direta com MMC por fatoração.
Como usar isso em frações?
Identifique divisores comuns entre numerador e denominador e aplique MDC (Euclides e fatoração) para simplificar.
Lista de Exercícios — Critérios de Divisibilidade
30 questões do básico ao desafiador. Clique em “Ver solução” para conferir o passo a passo.
A) Verifique a divisibilidade (responda “sim” ou “não”)
- \(74\,970\) por 9.
Ver solução
Soma: \(7+4+9+7+0=27\) (múltiplo de 9) → sim. - \(1\,428\) por 8.
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Últimos 3 dígitos: “428”. \(428\div 8=53{,}5\) (não inteiro) → não. - \(203\) por 7.
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Técnica do dobro: \(20-2\cdot3=14\) (múltiplo de 7) → sim. - \(7\,381\) por 11.
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\((7+8)-(3+1)=11\) (múltiplo de 11) → sim. - \(9\,504\) por 6.
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Par (termina em 4) e soma \(=9+5+0+4=18\) (múltiplo de 3) → sim. - \(52\,160\) por 8.
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Últimos 3 dígitos: “160”. \(160\div8=20\) → sim. - \(31\,752\) por 9.
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Soma \(=3+1+7+5+2=18\) (múltiplo de 9) → sim. - \(84\,312\) por 4.
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Últimos 2 dígitos: “12”. \(12\div4=3\) → sim. - \(84\,312\) por 3.
Ver solução
Soma \(=8+4+3+1+2=18\) (múltiplo de 3) → sim. - \(84\,312\) por 11.
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\((8+3+2)-(4+1)=13-5=8\) (não é múltiplo de 11) → não. - \(120\,375\) por 25.
Ver solução
Últimos 2 dígitos “75” são múltiplos de 25 → sim. - \(23\,000\) por 125.
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Últimos 3 dígitos “000” são múltiplos de 125 → sim.
B) Complete com o dígito x
- \(42x\) é divisível por 3.
Ver solução
Soma \(=4+2+x=6+x\). Para ser múltiplo de 3 → \(x\in\{0,3,6,9\}\). - \(7×5\) é divisível por 9.
Ver solução
Soma \(=7+x+5=12+x\). \(12+x\equiv0\pmod 9\Rightarrow x=6\). - \(3×8\) é divisível por 4.
Ver solução
Olhar “x8”. Como \(10\equiv2\,(\text{mod }4)\Rightarrow 2x+8\equiv0\) → \(x\) par → \(x\in\{0,2,4,6,8\}\). - \(5×2\) é divisível por 6.
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Já é par (termina em 2). Soma \(=5+x+2=7+x\equiv0\pmod 3\Rightarrow x\in\{2,5,8\}\). - \(18×4\) é divisível por 11.
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\((1+x)-(8+4)=x-11\). Para ser múltiplo de 11: \(|x-11|=11\Rightarrow x=0\). - \(72×9\) é divisível por 9.
Ver solução
Soma \(=7+2+x+9=18+x\). \(18+x\equiv0\pmod 9\Rightarrow x\in\{0,9\}\).
C) Múltiplas condições
Para cada número, diga se é divisível por 2, 3 e 6.
- \(4\,362\) — 2 ( ) 3 ( ) 6 ( )
Ver solução
2: sim (par). 3: soma \(=15\) → sim. 6: sim (2 e 3) → 2 ✓, 3 ✓, 6 ✓. - \(7\,590\) — 2 ( ) 3 ( ) 6 ( )
Ver solução
2: sim (termina em 0). 3: soma \(=21\) → sim. 6: sim → 2 ✓, 3 ✓, 6 ✓. - \(9\,407\) — 2 ( ) 3 ( ) 6 ( )
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2: não (ímpar). 3: soma \(=20\) → não. 6: não → 2 ✗, 3 ✗, 6 ✗.
Para cada número, diga se é divisível por 4 e por 8.
- \(3\,456\) — 4 ( ) 8 ( )
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4: “56” ÷4=14 → sim. 8: “456” ÷8=57 → sim → 4 ✓, 8 ✓. - \(12\,248\) — 4 ( ) 8 ( )
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4: “48” ÷4=12 → sim. 8: “248” ÷8=31 → sim → 4 ✓, 8 ✓. - \(5\,382\) — 4 ( ) 8 ( )
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4: “82” não é múltiplo de 4. 8: “382” ÷8=47,75 → não → 4 ✗, 8 ✗.
D) Desafios rápidos
- Encontre todos os dígitos \(x\) para que \(7×4\) seja divisível por 6.
Ver solução
2: já é par (termina em 4). 3: \(7+x+4=11+x\equiv0\pmod3\Rightarrow x\equiv1\pmod3\).
Logo, \(x\in\{1,4,7\}\). - Qual o menor número que deve ser adicionado a \(5\,246\) para torná-lo divisível por 3?
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Soma \(=17\equiv2\pmod3\). Próximo múltiplo é 18 → adicionar 1 (fica 5 247). - Qual o menor número que deve ser somado a \(7\,381\) para torná-lo divisível por 9?
Ver solução
Soma \(=19\). Próximo múltiplo de 9 é 27 → adicionar 8 (7 381→7 389; soma=27). - Subtraia o mínimo possível de \(2\,059\) para obter um múltiplo de 11. Qual é o novo número?
Ver solução
Alternada: \((2+5)-(0+9)=7-9=-2\). Subtraindo 2 → 2 057, cuja alternada é \(7-7=0\).
Resposta: 2 057. - Qual é o menor número de três dígitos que é múltiplo de 11 e também de 8?
Ver solução
\(\text{mmc}(11,8)=88\). Múltiplos de 88 com 3 dígitos: 88×2= 176 (o menor). - Entre \(10\,000\) e \(10\,100\) (inclusive), quantos números são divisíveis por 4?
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10 000 e 10 100 são ambos múltiplos de 4. Contagem: \(\dfrac{10\,100-10\,000}{4}+1 = \mathbf{26}\).
Gabarito rápido
A) 1) sim, 2) não, 3) sim, 4) sim, 5) sim, 6) sim, 7) sim, 8) sim, 9) sim, 10) não, 11) sim, 12) sim
B) 13) {0,3,6,9} · 14) 6 · 15) {0,2,4,6,8} · 16) {2,5,8} · 17) 0 · 18) {0,9}
C) 19) 2✓ 3✓ 6✓ · 20) 2✓ 3✓ 6✓ · 21) 2✗ 3✗ 6✗ · 22) 4✓ 8✓ · 23) 4✓ 8✓ · 24) 4✗ 8✗
D) 25) {1,4,7} · 26) 1 · 27) 8 · 28) 2 057 · 29) 176 · 30) 26
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