Definição de Progressão Aritmética (P.A.)
A Progressão Aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que a diferença entre dois termos consecutivos é constante. Tema essencial para provas, concursos e o ENEM.
📘 O que é Progressão Aritmética
Chama-se P.A. a sequência (a₁, a₂, a₃, …) tal que, para n ≥ 2, vale a seguinte fórmula de recorrência:
aₙ = aₙ₋₁ + r , ∀ n ∈ ℕ, n ≥ 2 }
Em que a é o primeiro termo e r é a razão (a variação fixa entre termos).
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- (1, 3, 5, 7, 9, …) → a₁ = 1, r = 2 (crescente)
- (0, −2, −4, −6, …) → a₁ = 0, r = −2 (decrescente)
- (4, 4, 4, 4, …) → a₁ = 4, r = 0 (constante)
🔹 Termo geral da P.A.
Para encontrar o n-ésimo termo, utilizamos:
Exemplo (contas uma abaixo da outra):
a₁ = 2 r = 3 n = 10 aₙ = a₁ + (n - 1)·r a₁₀ = 2 + (10 - 1)·3 a₁₀ = 2 + 27 a₁₀ = 29
📈 Classificação das P.A.
- Crescente: r > 0
- Decrescente: r < 0
- Constante: r = 0
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🧩 Lista de Exercícios — Progressão Aritmética
Clique para abrir/fechar cada solução. As alternativas aparecem acima e a resposta correta está dentro do bloco verde quando aberto.
1) Em uma P.A. com a₁=5 e r=3, determine a₈.
- 20
- 23
- 26
- 29
👀 Ver solução
Fórmula: \( a_n = a_1 + (n-1)r \).
a₈ = 5 + (8 - 1)·3
a₈ = 5 + 21
a₈ = 26
Alternativa correta: C.
2) Na P.A. (12, 9, 6, 3, ...), calcule r e a₁₀.
- r = −2; a₁₀ = −6
- r = −3; a₁₀ = −15
- r = 3; a₁₀ = 15
- r = −3; a₁₀ = −12
👀 Ver solução
r = 9 − 12 = −3
a₁₀ = 12 + (10 − 1)·(−3)
a₁₀ = 12 − 27
a₁₀ = −15
Alternativa correta: B.
3) Uma P.A. tem a₁ = −4 e a₇ = 8. Encontre r.
- 1
- 2
- 3
- 4
👀 Ver solução
a₇ = a₁ + 6r
8 = −4 + 6r
6r = 12
r = 2
Alternativa correta: B.
4) Dado a₁=2 e a₁₂=35, determine r e a₂₀.
- r = 2; a₂₀ = 40
- r = 3; a₂₀ = 59
- r = 4; a₂₀ = 70
- r = 5; a₂₀ = 87
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a₁₂ = a₁ + 11r
35 = 2 + 11r
11r = 33
r = 3
a₂₀ = a₁ + 19r
a₂₀ = 2 + 19·3
a₂₀ = 59
Alternativa correta: B.
5) (Aplicada) Uma escada tem degraus igualmente espaçados. O 1º está a 12 cm e o 6º a 72 cm do chão. A altura do 10º degrau é:
- 96 cm
- 108 cm
- 120 cm
- 132 cm
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a₁ = 12, a₆ = 72
a₆ = a₁ + 5r → 72 = 12 + 5r
5r = 60 → r = 12
a₁₀ = a₁ + 9r
a₁₀ = 12 + 9·12
a₁₀ = 120 cm
Alternativa correta: C.
6) Se a₅ = 31 e r = 7, calcule a₁ e a₁₀.
👀 Ver solução
a₅ = a₁ + 4r
31 = a₁ + 4·7
31 = a₁ + 28
a₁ = 3
a₁₀ = a₁ + 9r
a₁₀ = 3 + 9·7
a₁₀ = 66
7) Dados a₁ = 0 e r = −5, escreva os 5 primeiros termos e classifique a P.A.
👀 Ver solução
Termos: 0, −5, −10, −15, −20
Classificação: P.A. decrescente (r < 0)
8) Em uma P.A. constante com a₁ = 13, determine a₂, a₃ e a₂₀.
👀 Ver solução
Como r = 0, todos os termos são iguais a 13.
a₂ = 13, a₃ = 13, a₂₀ = 13
9) Em um auditório, a 1ª fileira tem 18 lugares e cada nova fileira tem 2 lugares a mais. Quantos lugares há na 15ª fileira?
👀 Ver solução
a₁ = 18, r = 2, n = 15
a₁₅ = a₁ + (n − 1)·r
a₁₅ = 18 + 14·2
a₁₅ = 46 lugares
10) (Desafio) Os termos a₃, a₈ e a₁₃ formam uma P.A. com razão 6. Se a₃ = 4, encontre a₁ e r da sequência original.
👀 Ver solução
Como (a₃, a₈, a₁₃) é P.A. de razão 6:
a₈ = a₃ + 6 = 10, a₁₃ = 16
Usando aₙ = a₁ + (n − 1)r:
a₃ = a₁ + 2r = 4
a₈ = a₁ + 7r = 10
Subtraindo:
( a₁ + 7r ) − ( a₁ + 2r ) = 10 − 4
5r = 6 → r = 6/5 = 1,2
a₁ = a₃ − 2r = 4 − 12/5 = 8/5 = 1,6
Adriano Rocha
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