Desconto Simples Racional (Por Dentro) — Valor Atual Racional: Fórmulas, Exemplos e Exercícios
Aprenda a calcular o desconto simples racional e o valor atual racional de um título, compreendendo as diferenças entre o desconto “por dentro” e o desconto comercial “por fora”.
📘 O que é o Desconto Simples Racional?
O desconto simples racional, também conhecido como desconto por dentro, é calculado com base no valor atual do título (e não no valor nominal). Ele representa o abatimento sobre o valor presente que, ao ser acrescido dos juros, resulta no valor de face (N) do título no vencimento.
Essa modalidade é utilizada quando se quer determinar quanto um título realmente vale hoje, levando em conta uma taxa de desconto e o tempo restante até o vencimento.
🧮 Fórmulas do Desconto Simples Racional
Desconto Racional
\( D_r = \dfrac{N \cdot i \cdot n}{1 + i \cdot n} \)
Valor Atual Racional
\( A_r = \dfrac{N}{1 + i \cdot n} \)
(equivale a \( A_r = N – D_r \))
Onde:
- Dr → Desconto racional (ou “por dentro”);
- Ar → Valor atual racional (valor presente líquido após o desconto);
- N → Valor nominal do título (valor de face a ser pago no vencimento);
- i → Taxa de desconto (na mesma unidade do prazo);
- n → Prazo até o vencimento (dias, meses ou anos).
📊 Diferença entre Desconto Comercial e Racional
O desconto comercial é calculado “por fora”, ou seja, sobre o valor nominal do título (N). Já o desconto racional é “por dentro”, pois o cálculo é feito sobre o valor atual (Ar).
Por isso, para a mesma taxa e o mesmo prazo, o desconto racional será sempre menor que o desconto comercial. Esse método reflete melhor o valor real da operação financeira.
✨ Exemplos Resolvidos
Exemplo 1 — Cálculo do desconto e valor atual
Enunciado: Um título de R$ 5.000,00 será descontado 4 meses antes do vencimento à taxa de 3% ao mês. Determine o desconto racional e o valor atual.
Solução:
\( D_r = \dfrac{5000 \cdot 0{,}03 \cdot 4}{1 + 0{,}03 \cdot 4} = \dfrac{600}{1{,}12} = 535{,}71 \). \( A_r = 5000 – 535{,}71 = \mathbf{R\$\,4.464{,}29} \).
Exemplo 2 — Encontrar a taxa
Enunciado: Um título de R$ 8.000,00 foi descontado 3 meses antes e resultou em valor atual racional de R$ 7.500,00. Qual a taxa de desconto mensal?
Solução:
\( A_r = \dfrac{N}{1 + i\cdot n} \Rightarrow 7500 = \dfrac{8000}{1 + 3i} \). \( 1 + 3i = \dfrac{8000}{7500} = 1{,}0667 \Rightarrow 3i = 0{,}0667 \Rightarrow i = 0{,}0222 = \mathbf{2{,}22\%\ a.m.} \)
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🧠 Exercícios (clique para ver apenas a solução)
1) Calcule o desconto racional e o valor atual racional de um título de R$ 10.000,00, descontado 5 meses antes à taxa de 2% a.m.
Ver solução
2) (Múltipla escolha) Um título de R$ 6.000,00 foi descontado 3 meses antes a 3% a.m. O valor atual racional é:
- A) R$ 5.460,00
- B) R$ 5.460,19
- C) R$ 5.455,00
- D) R$ 5.470,00
Ver solução
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