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Guia prático
Descontos Compostos
Conceitos, fórmulas (comercial × racional), equivalência de taxas, conversões de tempo (30/360), exemplos, exercícios resolvidos e relação com fluxo de caixa.
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Este conteúdo se conecta com: fluxo de caixa, avaliação de investimentos, equivalência de taxas, séries de pagamentos, sistemas de amortização, inflação e taxa real, descontos simples, juros simples e juros compostos.
O que são descontos compostos?
Antecipar títulos com capitalização “por dentro” ou “por fora”
Em descontos, calcula-se hoje o valor de um título que vence no futuro.
Na versão composta, a atualização é exponencial (por período):
- Racional (por dentro): atualiza o saldo pela taxa \(i\).
- Comercial (por fora): aplica uma taxa \(d\) diretamente sobre o nominal a cada período.
Fórmulas essenciais
Racional (composto, “por dentro”)
\[
\boxed{V=\dfrac{N}{(1+i)^n}},\qquad \boxed{D_r=N-V}
\]
- \(N\): valor nominal (no vencimento); \(V\): valor atual (hoje); \(D_r\): desconto racional.
- \(i\): taxa por período; \(n\): número de períodos (compatível com a taxa).
Comercial (composto, “por fora”)
\[
\boxed{V=N(1-d)^n},\qquad \boxed{D_c=N-V}
\]
- \(d\): taxa comercial por período; demais símbolos como acima.
Tempo em dias (base 30/360)
\(\ n_{\text{meses}}=\dfrac{\text{dias}}{30}\),
\(\ n_{\text{anos}}=\dfrac{\text{dias}}{360}\).
Use \(n\) fracionário nas potências. Para decisões financeiras, integre com fluxo de caixa.
Equivalência entre \(i\) (racional) e \(d\) (comercial)
Mesma atualização por período
Para equivaler os dois modelos por período:
\[
(1-d) = \frac{1}{1+i} \quad\Longrightarrow\quad
\boxed{d=\frac{i}{1+i}} \quad\text{e}\quad \boxed{i=\frac{d}{1-d}}
\]
Consequentemente, para \(n\) períodos:
\((1-d)^n=\dfrac{1}{(1+i)^n}\).
Mais regras de conversão em equivalência de taxas.
Exemplos passo a passo
-
E1. Um título de \(N=\RS\,5{.}000\) é antecipado por \(n=4\) meses a \(i=3\%\) a.m. (racional). Calcule \(V\) e \(D\).
Ver solução
\(V=\dfrac{5000}{(1{,}03)^4}\approx \RS\,4.442{,}44\). \(D=N-V\approx \RS\,557{,}56\). Contexto: decisões de avaliação de investimentos. -
E2. Comercial composto: \(N=\RS\,8{.}000\), \(d=2{,}8\%\) a.m., \(n=6\) meses. Encontre \(V\) e \(D\).
Ver solução
\(V=N(1-d)^n=8000(0{,}972)^6\approx \RS\,6.746{,}64\). \(D=N-V\approx \RS\,1.253{,}36\). Compare com o racional em descontos simples (revisão). -
E3. Dada a taxa racional \(i=2\%\) a.m., ache a comercial equivalente \(d\).
Ver solução
\(d=\dfrac{i}{1+i}=\dfrac{0{,}02}{1{,}02}=0{,}0196078\Rightarrow \boxed{1{,}961\%\ \text{a.m.}}\). -
E4. Comercial composto: \(N=\RS\,12{.}000\), \(d=1{,}5\%\) a.m., valor atual \(V=\RS\,10{.}200\). Ache \(n\).
Ver solução
\(\tfrac{V}{N}=(1-d)^n\Rightarrow n=\dfrac{\ln(0{,}85)}{\ln(0{,}985)}\approx 10{,}75\ \text{meses}\approx 10\ \text{meses e 23 dias}.\) -
E5. Comercial composto com dias: \(N=\RS\,4{.}200\), \(d=1{,}8\%\) a.m., \(t=50\) dias (30/360). Calcule \(V\) e \(D\).
Ver solução
\(n=\tfrac{50}{30}=1{,}666\overline{6}\). \(V=4200(1-0{,}018)^{1{,}666\overline{6}}\approx 4200\cdot0{,}9702\approx \RS\,4.074{,}76\). \(D\approx \RS\,125{,}24\). Veja calendário financeiro e impacto no fluxo de caixa.
Erros comuns (e como evitar)
- Confundir modelos. Em racional: \(V=\dfrac{N}{(1+i)^n}\). Em comercial: \(V=N(1-d)^n\).
- Tratar como simples. Não use \(1\pm in\); em compostos, use potências.
- Período incompatível. Ajuste \(n\) e taxa (veja equivalência).
- Ignorar inflação. Compare valores reais com taxa real.
🧠 Exercícios propostos
Resolva e confira no gabarito. Consulte também: juros compostos e descontos simples.
- 1. Racional: \(N=\) 5.000; \(i=2{,}5\%\) a.m.; \(n=8\) meses. Calcule \(V\) e \(D\).
- 2. Comercial: \(N=\) 9.600; \(d=2\%\) a.m.; \(n=5\) meses. Calcule \(V\) e \(D\).
- 3. Encontre \(d\) equivalente a \(i=3\%\) a.m. (composto).
- 4. Racional: \(N=\) 8.000; \(V=\) 7.000; \(i=1{,}7\%\) a.m. Ache \(n\) (meses).
- 5. Comercial: \(N=\) 12.000; \(V=\) 10.800; \(d=2{,}2\%\) a.m. Determine \(n\) (meses).
- 6. Racional a.a.: \(N=\) 2.500; \(i=18\%\) a.a.; \(t=150\) dias (30/360). Calcule \(V\).
- 7. Comercial com dias: \(N=\) 3.000; \(d=1{,}6\%\) a.m.; \(t=75\) dias. Calcule \(D\).
- 8. Qual \(i\) (racional a.m.) equivale a \(d=2{,}8\%\) a.m.?
- 9. Racional: quanto investir hoje (\(V\)) para receber \(N=\) 15.000 em \(n=10\) meses a \(i=1{,}9\%\) a.m.?
- 10. Comercial: \(N=\) 4.800; \(V=\) 4.400; \(d=1{,}4\%\) a.m. Ache \(n\).
📘 Gabarito (clique para ver)
Ver gabarito
- \(V=\dfrac{5000}{(1{,}025)^8}\approx \boxed{\RS\,4.103{,}73};\ \ D\approx \boxed{\RS\,896{,}27}.\)
- \(V=9600(0{,}98)^5\approx \boxed{\RS\,8.677{,}64};\ \ D\approx \boxed{\RS\,922{,}36}.\)
- \(d=\dfrac{i}{1+i}=\dfrac{0{,}03}{1{,}03}=0{,}029126\Rightarrow \boxed{2{,}913\%\ \text{a.m.}}.\)
- \((1+i)^n=\dfrac{N}{V}=\dfrac{8000}{7000}=1{,}142857\Rightarrow n=\dfrac{\ln(1{,}142857)}{\ln(1{,}017)}\approx \boxed{7{,}92\ \text{meses}}.\)
- \(n=\dfrac{\ln(0{,}9)}{\ln(0{,}978)}\approx \boxed{4{,}74\ \text{meses}}.\)
- \(n=\tfrac{150}{360}=0{,}416\overline{6}\ \text{ano};\ V=\dfrac{2500}{(1{,}18)^{0{,}416\overline{6}}}\approx \boxed{\RS\,2.333{,}40}.\)
- \(n=\tfrac{75}{30}=2{,}5;\ D=3000\big[1-(1-0{,}016)^{2{,}5}\big]\approx \boxed{\RS\,118{,}56}.\)
- \(i=\dfrac{d}{1-d}=\dfrac{0{,}028}{0{,}972}=0{,}028807\Rightarrow \boxed{2{,}881\%\ \text{a.m.}}.\)
- \(V=\dfrac{15000}{(1{,}019)^{10}}\approx \boxed{\RS\,12.426{,}52}.\)
- \(n=\dfrac{\ln(4400/4800)}{\ln(1-0{,}014)}=\dfrac{\ln 0{,}916\overline{6}}{\ln 0{,}986}}\approx \boxed{6{,}17\ \text{meses}}.\)
Arredondamentos a 2 casas em moeda e 3 em taxas. Para dias, usamos a convenção comercial 30/360.
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