Dízima Periódica — teoria completa, exemplos e exercícios
Este guia reúne a teoria essencial sobre dízima periódica, técnicas para obter a fração geratriz, exemplos “em bloco” (linha a linha) e uma lista de exercícios. Para contextualizar dentro de Números Racionais, recomendamos ler: Números Racionais e Conjuntos Numéricos. Ao final, há links para prática extra no Banco de Questões e revisão rápida com Mapas Mentais.
1) O que é dízima periódica?
É um número decimal no qual um bloco de algarismos se repete infinitamente. Usamos a notação de barra: \(0,\overline{3}\), \(0,\overline{45}\), \(2,\overline{7}\), etc. Todo decimal periódico é um racional, ou seja, pode ser escrito como fração \(\,\dfrac{p}{q}\,\) com \(p,q\in\mathbb{Z}\), \(q\neq0\). Veja mais em Números Racionais.
2) Tipos: simples (pura) e mista
Periódica simples (pura): o período começa logo após a vírgula.
Ex.: \(0,\overline{6}\), \(0,\overline{81}\), \(5,\overline{09}\).
Periódica mista: há uma parte não periódica (pré-período) antes do bloco repetido.
Ex.: \(0,1\overline{6}\), \(7,08\overline{3}\), \(4,2\overline{35}\).
3) Regras rápidas (fração geratriz)
- Se \(x=0,\overline{a}\) (um algarismo), então \(x=\dfrac{a}{9}\).
- Se \(x=0,\overline{ab}\) (dois algarismos), então \(x=\dfrac{ab}{99}\). Para três: \(\dfrac{abc}{999}\), etc.
- Se \(x=k,\overline{a}\) (parte inteira \(k\)), então \(x=k+\dfrac{a}{9}\).
- Se \(x\) é mista (há pré-período), use o método algébrico geral abaixo.
4) Método algébrico geral (caso misto)
Se o número tem \(n\) algarismos no pré-período e \(m\) no período, então:
\[ \begin{aligned} x&=\text{dízima mista} \\[2pt] 10^{\,n+m}x-10^{\,n}x&=\text{(algarismos sem o ponto)}-\text{(algarismos até antes do período)} \\[2pt] x&=\dfrac{10^{\,n+m}x-10^{\,n}x}{10^{\,n+m}-10^{\,n}} \end{aligned} \]
5) Exemplos resolvidos (em bloco)
Exemplo A — \(0,\overline{45}\Rightarrow \dfrac{5}{11}\).
\[ \begin{aligned} 0,\overline{45}&=\dfrac{45}{99} \\ &=\dfrac{5}{11} \end{aligned} \]Exemplo B — \(2,\overline{7}\Rightarrow \dfrac{25}{9}\).
\[ \begin{aligned} 2,\overline{7}&=2+\dfrac{7}{9} \\ &=\dfrac{18}{9}+\dfrac{7}{9} \\ &=\dfrac{25}{9} \end{aligned} \]Exemplo C (mista) — \(0,1\overline{6}\Rightarrow \dfrac{1}{6}\).
\[ \begin{aligned} x&=0,1666\ldots \\ 10x&=1,666\ldots \\ 9x&=1{,}5 \\ x&=\dfrac{1{,}5}{9}=\dfrac{15}{90}=\dfrac{1}{6} \end{aligned} \]Exemplo D (mista) — \(4,2\overline{35}\Rightarrow \dfrac{4193}{990}\) (irredutível).
\[ \begin{aligned} x&=4,2\overline{35} \\ 1000x&=4235,\overline{35} \\ 10x&=42,\overline{35} \\ 990x&=4235-42=4193 \\ x&=\dfrac{4193}{990} \end{aligned} \]6) Operações com dízimas
Soma: \(0,\overline{3}+0,\overline{6}\).
\[ \begin{aligned} 0,\overline{3}&=\dfrac{1}{3},\qquad 0,\overline{6}=\dfrac{2}{3} \\ \text{soma}&=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=1 \end{aligned} \]Produto: \(0,\overline{3}\cdot 0,\overline{6}\).
\[ \begin{aligned} \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2}{3}&=\dfrac{2}{9} \\ &=0,\overline{2} \end{aligned} \]7) Erros comuns e dicas
- Esquecer os 9s no denominador: \(0,\overline{ab}\neq \dfrac{ab}{100}\); é \(\dfrac{ab}{99}\).
- Mista sem alinhar potências de 10: sempre use \(10^{n+m}\) e \(10^{n}\) (pré-período com \(n\) casas; período com \(m\)).
- Arredondar o período: nunca corte o período; trabalhe com frações.
- Para revisão rápida, confira os Mapas Mentais.
8) Exercícios propostos (gabarito no fim)
- Escreva como fração: \(0,\overline{8}\).
- Escreva como fração: \(5,\overline{09}\).
- Converta: \(0,07\overline{2}\).
- Converta: \(1,\overline{36}\).
- Calcule \(0,\overline{3}+2,\overline{7}\).
- Compare: \(0,\overline{45}\) ___ \(0,\overline{5}\).
Gabarito rápido
- \(\dfrac{8}{9}\)
- \(\dfrac{504}{99}=\dfrac{56}{11}\)
- \(\dfrac{13}{180}\)
- \(\dfrac{19}{14}\) (pois \(1+\dfrac{36}{99}=1+\dfrac{4}{11}=\dfrac{15}{11}=1{,}36\overline{36}\Rightarrow\) simplificando: \(\dfrac{15}{11}\). Se desejar, mantenha irredutível conforme o enunciado.)
- \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{25}{9}=\dfrac{28}{9}\)
- \(0,\overline{45}=\dfrac{5}{11}\lt 0,\overline{5}=\dfrac{5}{9}\Rightarrow\) menor.
9) Para estudar mais
Dízima Periódica (post base) Números Racionais Conjuntos Numéricos Banco de Questões ENEM Matemática 10 eBooks Canais Oficiais Mapas Mentais
