Nesta questão de Análise Combinatória do ENEM 2025, um pai comprou 8 presentes diferentes, entre eles uma bicicleta e um celular, para distribuir entre seus três filhos. O filho mais velho e o mais novo deverão receber 3 presentes cada, e o filho do meio ficará com os 2 presentes restantes.
Além disso, há uma condição importante: o filho mais velho receberá exatamente um entre bicicleta e celular (ou bicicleta, ou celular, mas não os dois ao mesmo tempo). Nosso objetivo é descobrir de quantas maneiras distintas essa distribuição pode ser feita.
Vamos resolver organizando o raciocínio em etapas, pensando sempre em conjuntos de presentes para cada filho.
✅ Ver solução passo a passo
1) Identificando os presentes especiais
Entre os 8 presentes, dois são especiais:
- Bicicleta (B);
- Celular (C).
Os outros 6 presentes são todos diferentes entre si, mas não têm nenhuma condição extra.
O filho mais velho (V) deve receber: 3 presentes, incluindo exatamente um entre B e C. Os outros dois filhos são o do meio (M) e o mais novo (N), com:
- V: 3 presentes;
- M: 2 presentes;
- N: 3 presentes.
2) Caso 1 – o mais velho fica com a bicicleta, mas não com o celular
Vamos começar supondo que o mais velho fique com a bicicleta B, mas não com o celular C.
Já garantimos 1 presente para V (a bicicleta), faltam escolher mais 2 presentes entre os 6 presentes comuns (pois o celular não pode ir para ele):
Número de maneiras de completar os presentes do mais velho = C(6,2) = 15
Depois disso, já teremos distribuído 3 presentes para V. Restam 5 presentes no total: o celular C e os 4 presentes comuns restantes.
Esses 5 presentes serão distribuídos entre o filho do meio (2 presentes) e o mais novo (3 presentes). Basta escolher quais 3 irão para o mais novo (os 2 restantes ficarão com o do meio):
Número de maneiras de distribuir entre N e M = C(5,3) = 10
Assim, neste caso (V fica com a bicicleta e não com o celular), o número de distribuições é:
15 · 10 = 150
3) Caso 2 – o mais velho fica com o celular, mas não com a bicicleta
Por simetria, se o mais velho ficar com o celular C em vez da bicicleta B, o raciocínio é idêntico:
- Escolhemos 2 presentes comuns entre os 6 para completar os 3 presentes do mais velho ⇒ C(6,2) = 15.
- Sobram 5 presentes (a bicicleta e 4 comuns) a serem divididos entre N (3 presentes) e M (2 presentes) ⇒ C(5,3) = 10.
Logo, também teremos:
15 · 10 = 150 distribuições neste caso.
4) Somando os casos
Os dois casos são disjuntos (no caso 1 o mais velho ganha B, no caso 2 ele ganha C) e ambos atendem à condição de receber exatamente um dos dois presentes especiais.
Total de distribuições = 150 + 150 = 300
Portanto, o número de maneiras distintas de distribuir os presentes é 300.
✅ Alternativa correta: C
Questão anterior resolvida: ENEM 2025 – Matemática Financeira: quantidade de parcelas no financiamento do carro
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