Equações Polinomiais: Exercícios em PDF (com gabarito)
Chamamos de equação polinomial toda equação da forma \(P(x)=0\), em que \(P(x)\) é um polinômio de grau \(n\ge 1\). Resolver \(P(x)=0\) significa determinar suas raízes (ou zeros), com suas respectivas multiplicidades.
Atualizado em: 2025-08-19
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Fatos fundamentais
\[
\textbf{Fatoração por raízes:}\quad
\]
\[
\text{Se } r \text{ é raiz de } P(x),
\]
\[
\text{ então } P(x)=(x-r)\,Q(x).
\]
\[
\textbf{Teorema do Resto:}\quad
\]
\[
P(x)=(x-r)\,Q(x)+P(r) \
\]
\[
\Rightarrow\ \text{Resto na divisão por }(x-r)\text{ é }P(r).
\]
\[
\textbf{Multiplicidade:}\quad
\]
\[r \text{ é raiz de multiplicidade }
\]
\[
m \iff (x-r)^m \text{ divide }
\]
\[
P(x) \text{ e } (x-r)^{m+1} \text{ não.}
\]
Exemplo resolvido
Problema. Resolva a equação polinomial \(P(x)=x^3-4x^2+5x-2=0\).
\[
\text{Pelo Teorema do Resto, testamos }
\]
\[
r=1:\quad P(1)=1-4+5-2=0.
\]
\[
\Rightarrow (x-1) \text{ é fator. Dividindo }
\]
\[
P(x) \text{ por } (x-1), \text{ obtemos } Q(x)=x^2-3x+2.
\]
\[
Q(x)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2).
\]
\[
\Rightarrow P(x)=(x-1)^2(x-2).
\]
Solução: \(x=1\) (multiplicidade 2) e \(x=2\).
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