Exercício Cunha Esférica — 15 questões com soluções

O que os símbolos significam nos enunciados? Raio \(r\) é a distância do centro da esfera até a superfície; diâmetro \(d=2r\); ângulo central em graus \(\alpha\) (entre os meridianos que limitam a cunha); ângulo em radianos \(\theta\) (quando indicado). Quando houver aproximação, use \( \pi\approx 3{,}1416 \).

Para revisar conceitos e ver mais exemplos gerais, consulte: Corpos redondos, Exercício Esfera, Cubo e Paralelepípedo.

1) Básico — volume direto. Numa esfera de raio \(r=3\ \text{cm}\), calcule o volume da cunha esférica cujo ângulo central é \(\alpha=60^\circ\).

1. \(5\pi\ \text{cm}^{3}\)
2. \(6\pi\ \text{cm}^{3}\)
3. \(8\pi\ \text{cm}^{3}\)
4. \(9\pi\ \text{cm}^{3}\)

2) Encontrando o ângulo. Em uma esfera de raio \(r=5\ \text{cm}\), a cunha tem volume \(V=\dfrac{500}{9}\pi\ \text{cm}^{3}\). Determine o ângulo \(\alpha\) (graus).

1. \(90^\circ\)
2. \(108^\circ\)
3. \(120^\circ\)
4. \(135^\circ\)

3) Em radianos. Considere uma esfera de raio \(r=2\ \text{m}\) e uma cunha com ângulo \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\) (radianos). Calcule o volume.

1. \(\dfrac{\pi}{3}\ \text{m}^{3}\)
2. \(\dfrac{4\pi}{3}\ \text{m}^{3}\)
3. \(2\pi\ \text{m}^{3}\)
4. \(\dfrac{8\pi}{3}\ \text{m}^{3}\)

4) Usando o diâmetro. Uma esfera tem diâmetro \(d=10\ \text{cm}\) (logo, raio \(r=5\ \text{cm}\)). Para \(\alpha=45^\circ\), determine o volume da cunha (forma exata).

1. \(\dfrac{125\pi}{9}\)
2. \(\dfrac{125\pi}{6}\)
3. \(\dfrac{250\pi}{9}\)
4. \(\dfrac{500\pi}{27}\)

5) Hemisfério como caso particular. Para uma esfera de raio \(r=4\ \text{cm}\) e \(\alpha=180^\circ\), calcule o volume da cunha.

1. \(\dfrac{64\pi}{3}\)
2. \(\dfrac{96\pi}{3}\)
3. \(\dfrac{128\pi}{3}\)
4. \(64\pi\)

6) Encontrando o raio. Uma cunha tem volume \(V=100\pi\ \text{cm}^{3}\) e ângulo \(\alpha=30^\circ\). Qual é o raio da esfera \(r\) (aprox. em cm)?

1. 8,80
2. 9,20
3. 9,65
4. 10,00

7) Comparando duas cunhas. Duas cunhas pertencem a esferas de raios \(r_A:r_B=2:3\) e ângulos \(\alpha_A=60^\circ\), \(\alpha_B=45^\circ\). A razão \(V_A:V_B\) vale:

1. \(16:27\)
2. \(32:81\)
3. \(8:27\)
4. \(64:81\)

8) Soma de dois setores. Numa esfera de raio \(r=6\ \text{cm}\), duas cunhas não sobrepostas possuem ângulos \(20^\circ\) e \(35^\circ\). Determine o volume total.

1. \(36\pi\)
2. \(40\pi\)
3. \(44\pi\)
4. \(48\pi\)

9) Achando \(\theta\). Em uma esfera de raio \(r=3\ \text{m}\), a cunha tem volume \(V=6\pi\ \text{m}^{3}\). Encontre o ângulo \(\theta\) em radianos.

1. \(\dfrac{\pi}{6}\)
2. \(\dfrac{\pi}{4}\)
3. \(\dfrac{\pi}{3}\)
4. \(\dfrac{\pi}{2}\)

10) Tanque esférico em litros. Um tanque esférico de raio \(r=1{,}5\ \text{m}\) contém uma cunha de \(\alpha=60^\circ\) preenchida com líquido. Calcule o volume em litros.

1. 1 885 L
2. 2 356 L
3. 3 142 L
4. 3 534 L

11) Proporção do volume total. O volume da esfera é 500 L. Qual deve ser o ângulo \(\alpha\) (graus) para que a cunha tenha 125 L?

1. \(60^\circ\)
2. \(75^\circ\)
3. \(90^\circ\)
4. \(120^\circ\)

12) Removendo um terço do volume. Qual \u>ângulo \(\alpha\) remove exatamente \(\dfrac{1}{3}\) do volume da esfera (mesmo \(r\))?

1. \(90^\circ\)
2. \(105^\circ\)
3. \(120^\circ\)
4. \(135^\circ\)

13) Comparação de dois ângulos em radianos. Em uma mesma esfera (mesmo \(r\)), compare os volumes das cunhas com \(\theta_1=\dfrac{\pi}{6}\) e \(\theta_2=\dfrac{\pi}{3}\).

1. \(V_2=V_1\)
2. \(V_2=1{,}5\,V_1\)
3. \(V_2=2\,V_1\)
4. \(V_2=3\,V_1\)

14) Intervalo de ângulos possível. Em uma esfera de raio \(r=6\ \text{cm}\), deseja-se que o volume da cunha fique entre \(30\pi\) e \(40\pi\ \text{cm}^{3}\). Em qual intervalo de \(\alpha\) (graus) isso ocorre?

1. \(30^\circ\)–\(40^\circ\)
2. \(37{,}5^\circ\)–\(50^\circ\)
3. \(45^\circ\)–\(60^\circ\)
4. \(60^\circ\)–\(75^\circ\)

15) Massa de uma peça de espuma. Uma peça em forma de cunha é moldada dentro de uma esfera de raio \(r=0{,}40\ \text{m}\), com ângulo \(\alpha=90^\circ\). A espuma tem densidade \(60\ \text{kg/m}^{3}\). Qual é a massa aproximada da peça?

1. 3,5 kg
2. 4,0 kg
3. 4,5 kg
4. 5,0 kg

Links internos para aprofundar

• Esfera — elementos, área e volume.
• Exercício Esfera — mais listas com passo a passo.
• Corpos redondos — visão geral (cilindro, cone, esfera…).
• Poliedros para contraste: Cubo e Paralelepípedo.

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