Derivadas, Retas Tangentes, Limites e Derivação Implícita — Passo a Passo

Exercícios

1. 1) Calcule as derivadas

   • a) \(f(x)=x^{3}\)
   • b) \(f(x)=x^{-3}\)
   Ver soluções (passo a passo)

   a) \(f(x)=x^{3}\)

   1. Regra da potência: \(\dfrac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}\).
   2. Com \(n=3\): \(f'(x)=3x^{2}\).
   3. Resposta: \(f'(x)=3x^{2}\).

   b) \(f(x)=x^{-3}\)

   1. Mesmo padrão para expoente negativo.
   2. \(\dfrac{d}{dx}x^{-3}=-3x^{-4}\).
   3. Sem potência negativa: \(f'(x)=-\dfrac{3}{x^{4}}\) (com \(x\neq0\)).

2. 2) Reta tangente a \(f(x)=x^{4}+2x^{2}-x\) no ponto \(x=1\).

   Ver solução (passo a passo)

   1. Ponto da curva: \(f(1)=1+2-1=2\Rightarrow (1,2)\).
   2. Derivada: \(f'(x)=4x^{3}+4x-1\).
   3. Inclinação no ponto: \(m=f'(1)=4+4-1=7\).
   4. Equação ponto–inclinação: \(y-2=7(x-1)\Rightarrow\) \(\boxed{y=7x-5}\).

3. 3) Derive \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x^{4}}\)

   Ver solução (passo a passo)

   1. Quociente com \(u=\ln x\Rightarrow u’=1/x\) e \(v=x^{4}\Rightarrow v’=4x^{3}\).
   2. Regra: \(\left(\frac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^{2}}\).
   3. Aplicando: \(\dfrac{(1/x)x^{4}-(\ln x)4x^{3}}{x^{8}}=\dfrac{x^{3}-4x^{3}\ln x}{x^{8}}\).
   4. Simplifique: \(\boxed{f'(x)=\dfrac{1-4\ln x}{x^{5}}}\) (com \(x>0\)).

4. 4) Derive \(f(x)=\sqrt{x^{2}+2x}\)

   Ver solução (passo a passo)

   1. Escreva \(f(x)=(x^{2}+2x)^{1/2}\).
   2. Cadeia: \(f'(x)=\frac{1}{2}(x^{2}+2x)^{-1/2}(2x+2)\).
   3. Com raiz: \(\boxed{f'(x)=\dfrac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2x}}}\).

5. 5) Reta tangente à curva \(y=(x-1)^{5}\) no ponto \((2,1)\).

   Ver solução (passo a passo)

   1. Derive: \(y’=5(x-1)^{4}\).
   2. Inclinação em \(x=2\): \(m=5\).
   3. Equação: \(y-1=5(x-2)\Rightarrow\) \(\boxed{y=5x-9}\).

6. 6) Derive \(f(x)=\ln(sen x)\)

   Ver solução (passo a passo)

   1. Cadeia com \(u=sen x\Rightarrow u’=\cos x\).
   2. \(\dfrac{d}{dx}\ln u=\dfrac{u’}{u}\Rightarrow f'(x)=\dfrac{\cos x}{sen x}\).
   3. Simplifique: \(\boxed{f'(x)=\cot x}\) (onde \(sen x>0\)).

7. 7) Derivação implícita: \(x^{2}y+2y^{3}=3x+2y\)

   Ver solução (passo a passo)

   1. \(\dfrac{d}{dx}(x^{2}y)=2xy+x^{2}y’\).
   2. \(\dfrac{d}{dx}(2y^{3})=6y^{2}y’\).
   3. Direita: \(\dfrac{d}{dx}(3x+2y)=3+2y’\).
   4. Monte: \(2xy+x^{2}y’+6y^{2}y’=3+2y’\).
   5. Agrupe \(y’\): \((x^{2}+6y^{2}-2)y’=3-2xy\).
   6. Isole: \(\boxed{y’=\dfrac{3-2xy}{x^{2}+6y^{2}-2}}\).

8. 8) Limite \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{e^{5x}-1}{3x}\)

   Ver solução (passo a passo)

   1. Indeterminação \(0/0\).
   2. L’Hôpital: \(\dfrac{5e^{5x}}{3}\xrightarrow[x\to0]{}\dfrac{5}{3}\).
   3. Resposta: \(\boxed{\tfrac{5}{3}}\).

9. 9) Limite \(\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x^{2}-x}\)

   Ver solução (passo a passo)

   1. Indeterminação \(0/0\).
   2. L’Hôpital: \(\dfrac{(1/x)}{2x-1}\big|_{x=1}=1\).
   3. Resposta: \(\boxed{1}\).

10. 10) Pontos críticos de \(f(x)=3x^{5}+5x^{4}-10x^{3}-15\)

    Ver solução (passo a passo)

    1. Derive: \(f'(x)=15x^{4}+20x^{3}-30x^{2}\).
    2. Fatore: \(f'(x)=5x^{2}(3x^{2}+4x-6)\).
    3. Resolva \(f'(x)=0\): \(x=0\) (raiz dupla) ou \(3x^{2}+4x-6=0\).
    4. Bhaskara: \(x=\dfrac{-2\pm\sqrt{22}}{3}\).
    5. Críticos: \(x=0,\ \dfrac{-2+\sqrt{22}}{3},\ \dfrac{-2-\sqrt{22}}{3}\).

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