Fórmula do Ponto Médio — Definição, Exemplos e Exercícios
O ponto médio é o ponto que divide um segmento de reta em duas partes iguais. Ele é muito utilizado em geometria analítica para determinar o centro de um segmento, o ponto de equilíbrio entre duas coordenadas ou o centro de uma figura geométrica.
📘 O que é o ponto médio
Considere dois pontos \( A(x_1, y_1) \) e \( B(x_2, y_2) \) no plano cartesiano. O ponto médio \( M(x_M, y_M) \) é o ponto que divide o segmento \( \overline{AB} \) exatamente ao meio.
📐 Fórmula do Ponto Médio
Essa fórmula é obtida calculando a média aritmética das coordenadas dos pontos extremos \( A \) e \( B \).
🧮 Exemplo Resolvido
Exemplo 1: Determine o ponto médio do segmento com extremos \( A(2, 4) \) e \( B(6, 10) \).
Resolução:
\( x_M = \dfrac{2 + 6}{2} = 4 \)
\( y_M = \dfrac{4 + 10}{2} = 7 \)
Resposta: \( M(4, 7) \)
Exemplo 2: Calcule o ponto médio entre \( P(-3, 2) \) e \( Q(5, -4) \).
Resolução:
\( x_M = \dfrac{-3 + 5}{2} = 1 \)
\( y_M = \dfrac{2 + (-4)}{2} = -1 \)
Resposta: \( M(1, -1) \)
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🧩 Exercícios de Fixação
1. Encontre o ponto médio entre \( A(0, 0) \) e \( B(4, 8) \).
\( y_M = \dfrac{0 + 8}{2} = 4 \)
Resposta: \( M(2, 4) \)
2. Calcule o ponto médio de \( A(-2, 6) \) e \( B(4, -2) \).
\( y_M = \dfrac{6 + (-2)}{2} = 2 \)
Resposta: \( M(1, 2) \)
3. Determine o ponto médio entre \( P(-4, -2) \) e \( Q(8, 4) \).
\( y_M = \dfrac{-2 + 4}{2} = 1 \)
Resposta: \( M(2, 1) \)
4 (Múltipla escolha). O ponto médio entre \( A(3, -1) \) e \( B(9, 7) \) é:
- A) \( (6, 3) \)
- B) \( (5, 4) \)
- C) \( (6, 4) \)
- D) \( (3, 2) \)
\( y_M = \dfrac{-1 + 7}{2} = 3 \)
✅ Alternativa correta: A) (6, 3)
5. (Desafio) O ponto médio entre \(A(-2, y)\) e \(B(4, 10)\) é \(M(1, 7)\). Determine o valor de \(y\).
Para \(y_M = 7\): \( \dfrac{y + 10}{2} = 7 \) → \( y + 10 = 14 \) → \( y = 4 \).
Resposta: \( y = 4 \)
