Funções de Várias Variáveis
Caríssimos alunos do curso de Licenciatura em Matemática e Física da UNIVESP, bem-vindos à disciplina de Cálculo II. Esta disciplina é fundamental na formação de professores e profissionais das ciências exatas. Nosso objetivo é compreender e explorar conceitos ligados a funções de várias variáveis, gráficos em 3D, derivadas parciais, integrais múltiplas e aplicações em problemas reais de Física, Química e Engenharia.
O que são Funções de Várias Variáveis?
Uma função de várias variáveis é uma regra que associa um número real a cada par (ou tripla) de números reais. Por exemplo, uma função \(f(x, y)\) com duas variáveis independentes \(x\) e \(y\) pode ser escrita como:
Para calcular o valor de \(f(x, y)\) em um ponto específico, basta substituir \(x\) e \(y\) pelos valores desejados. Por exemplo:
Outro exemplo:
Representação Gráfica
O gráfico de uma função de uma variável \(y = f(x)\) é uma curva no plano \(xy\). Já o gráfico de uma função de duas variáveis \(z = f(x, y)\) é uma superfície no espaço tridimensional \(\mathbb{R}^3\).
Por exemplo, o gráfico da função \(f(x, y) = x^2 + y^2\) é um paraboloide de revolução, uma superfície obtida pela rotação da parábola \(z = x^2\) em torno do eixo \(z\).
Derivadas Parciais
Para funções de uma variável, a derivada mede a taxa de variação da função em relação à variável independente. Em funções de duas variáveis, temos as derivadas parciais, que medem a taxa de variação da função mantendo uma das variáveis fixas.
Por exemplo, para:
Temos:
Exemplo – Equação dos Gases Perfeitos
A equação dos gases perfeitos é dada por:
Se mantivermos \(n\) e \(R\) fixos, podemos escrever:
As derivadas parciais da pressão são:
Integrais de Duas Variáveis
Assim como a integral de uma variável calcula a área sob uma curva, a integral dupla calcula o volume sob uma superfície \(z = f(x, y)\) e acima de uma região \(D\) no plano \(xy\):
Quando a região \(D\) é retangular, podemos aplicar o Teorema de Fubini:
Exercício Resolvido – Volume Sob um Paraboloide
Calcule o volume sob a superfície \(z = 4 – x^2 – y^2\) sobre a região \(D = \{(x, y): x^2 + y^2 \le 2^2\}\).
Usando coordenadas polares:
O integral é:
Integramos em \(r\):
Agora em \(\theta\):
Resposta: \(V = 8 \pi\).
Domínio, Imagem e Gráficos
Caríssimos alunos, bem-vindos à segunda aula da disciplina de Cálculo II da UNIVESP. Nesta aula, aprofundamos o estudo de funções de várias variáveis, com foco em conceitos como domínio, imagem, conjuntos de nível e representação gráfica.
Funções de Duas e Três Variáveis
Uma função de duas variáveis é definida por:
onde \(x\) e \(y\) são variáveis independentes e \(z\) é a variável dependente. Para funções de três variáveis, temos:
com \(w\) como variável dependente e \(x, y, z\) como variáveis independentes.
Domínio de uma Função
O domínio de uma função de várias variáveis é o conjunto de todos os pontos em \(\mathbb{R}^n\) onde a função está definida.
Exemplo 1:
Considere \(f(x, y) = x^2 + y^2\). Não há restrições para \(x\) ou \(y\), logo:
Exemplo 2:
Considere \(f(x, y) = \frac{1}{x^2 + y^2}\). Aqui, não podemos ter \(x^2 + y^2 = 0\), o que ocorre apenas em \((0, 0)\). Assim:
Exemplo 3 (Três variáveis):
Para \( w = \sin(xyz) + x^3 \), não há restrições de cálculo, então:
Imagem de uma Função
O conjunto imagem é formado por todos os valores possíveis que a função pode assumir. Por exemplo, para \(f(x, y) = x^2 + y^2\), temos:
Exemplo 4:
Para \(f(x, y) = \frac{x^2}{x^2 + y^2}\), temos que:
Logo, a imagem é o intervalo \([0, 1]\).
Gráficos em Três Dimensões
O gráfico de uma função de duas variáveis \(z = f(x, y)\) é uma superfície no espaço tridimensional \(\mathbb{R}^3\). Para funções de três variáveis, o gráfico é um objeto em quatro dimensões, que não pode ser visualizado diretamente, mas podemos estudar suas projeções.
Exercício Resolvido 1
Determine o domínio e a imagem da função:
Solução:
O denominador deve ser diferente de zero:
Portanto:
Como a função é uma fração com numerador constante 1, ela pode assumir qualquer valor real (positivo ou negativo), exceto zero. Logo, \(\text{Im}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}\).
Exercício Resolvido 2
Determine a imagem da função \(f(x, y) = x^2 + y^2\).
Solução: Como \(x^2 \geq 0\) e \(y^2 \geq 0\), temos que:
Além disso, ao escolher \(x = 0\) e \(y = 0\), obtemos \(f(0, 0) = 0\). Para valores grandes de \(x\) ou \(y\), \(f(x, y) \to \infty\). Assim:
Gráficos de Funções de Várias Variáveis
Bem-vindos à terceira aula da disciplina de Cálculo II da UNIVESP. Nesta aula, concluímos a introdução ao estudo de gráficos de funções de duas variáveis, explorando superfícies, curvas de nível e técnicas para esboçar gráficos à mão, sem o uso de softwares como Winplot ou GeoGebra.
1. Gráficos de Funções de Duas Variáveis
Um exemplo inicial é a função de grau 1:
O gráfico dessa função é um plano no espaço tridimensional. Para visualizá-lo, analisamos sua interseção com os planos coordenados (XY, XZ e YZ) e com o primeiro octante (onde \(x, y, z \geq 0\)).
Exemplo – Interseções:
Se \(y = 0\), temos:
Se \(x = 0\), temos:
No plano XY (\(z = 0\)), obtemos:
Essas três retas formam um triângulo no plano XY, delimitando o pedaço do plano no primeiro octante.
2. Curvas de Nível
O conceito de curva de nível é fundamental para compreender superfícies. Para uma função \(f(x, y)\), uma curva de nível de valor \(k\) é dada por:
Trata-se do conjunto de pontos \((x, y)\) no domínio cuja imagem é constante, igual a \(k\).
Exemplo – Paraboloide:
Considere a função:
As curvas de nível são encontradas resolvendo:
Se \(k = 4\), temos um ponto \((0,0)\). Se \(k < 4\), obtemos circunferências de raio \(\sqrt{4-k}\). Para \(k > 4\), não há curva de nível (pois \(x^2 + y^2 \geq 0\)).
3. Interseções com os Planos Coordenados
A análise das interseções da superfície com os planos XY, XZ e YZ fornece uma visão clara da forma do gráfico. Por exemplo, para:
Temos parábolas nos planos XZ (quando \(y = 0\)) e YZ (quando \(x = 0\)). A projeção das curvas de nível no plano XY forma circunferências concêntricas.
4. Gráficos à Mão
Mesmo com recursos computacionais, é essencial saber esboçar gráficos de funções de várias variáveis. O método envolve:
- Traçar os eixos \(x, y, z\) em perspectiva (primeiro octante).
- Determinar as interseções com os planos coordenados.
- Desenhar curvas de nível (retas, circunferências ou parábolas, dependendo da função).
- Completar a superfície com base na simetria e no comportamento da função.
Exemplo de Construção à Mão:
Para \(f(x, y) = x^2 + y^2\):
- Curvas de nível: \(x^2 + y^2 = k \implies\) circunferências no plano XY.
- Interseções: parábolas nos planos XZ e YZ.
- O gráfico completo é um paraboloide de revolução, com vértice na origem.
5. Outro Exemplo – Sela
Considere a função:
Esta superfície, conhecida como sela, possui interseções parabólicas:
- No plano XZ (\(y = 0\)): \(z = x^2\) (parábola para cima).
- No plano YZ (\(x = 0\)): \(z = -y^2\) (parábola para baixo).
O resultado é uma superfície em formato de sela, com simetria em torno dos eixos.
Conclusão
O estudo de curvas de nível e de interseções com planos é essencial para compreender e esboçar superfícies. Com prática, torna-se possível visualizar objetos tridimensionais apenas analisando suas equações e cortes nos eixos.
