Fuso Esférico (Lúnula): guia completo

Um fuso esférico é a “faixa” da superfície de uma esfera compreendida entre dois meridianos que formam um ângulo central \(\alpha\). É muito usado em problemas de geografia (zonas horárias), engenharia e design. Para revisão geral de sólidos, veja corpos redondos. Para treinar, acesse exercícios de esfera e compare com sólidos de faces planas como cubo e paralelepípedo.

Fórmulas do fuso esférico

Intuição e checagens rápidas

• \(\alpha=360^\circ\Rightarrow A_{\text{fuso}}=4\pi r^{2}\) (a esfera inteira).
• \(\alpha=180^\circ\Rightarrow A_{\text{fuso}}=2\pi r^{2}\) (hemisfério, só a área curva).
• Escala: duplicar \(\alpha\) dobra a área do fuso; dobrar \(r\) quadruplica essa área.

Exemplos resolvidos (passo a passo)

Exemplo 1 — Área do fuso em graus. Em um globo de \(r=5\ \text{cm}\), encontre a área de um fuso de \(\alpha=60^\circ\) (exata e aproximada).

Exemplo 2 — Fuso em radianos. No globo terrestre \(r=6{,}37\ \text{Mm}\) (megametros), qual a área de um fuso de \(\theta=\dfrac{\pi}{6}\)?

Exemplo 3 — Volume da cunha a partir do fuso. Com \(r=3\ \text{m}\) e \(\alpha=120^\circ\), determine \(A_{\text{fuso}}\) e \(V_{\text{cunha}}\).

Erros comuns

• Usar \(r^{3}\) em área (lembre: área sempre tem \(r^{2}\)).
• Confundir graus e radianos nas fórmulas — escolha uma versão e mantenha a unidade coerente.
• Esquecer as unidades: área em cm²/m², volume em cm³/m³.

Exercícios (múltipla escolha)

1) Uma esfera tem \(r=4\ \text{cm}\). Qual é a área de um fuso com \(\alpha=45^\circ\)?

1. \(8\pi\ \text{cm}^{2}\)
2. \(10\pi\ \text{cm}^{2}\)
3. \(12\pi\ \text{cm}^{2}\)
4. \(16\pi\ \text{cm}^{2}\)

2) Dada a área de um fuso \(A_f=30\pi\ \text{cm}^{2}\) em uma esfera com \(r=5\ \text{cm}\). O ângulo \(\alpha\) (graus) é:

1. \(54^\circ\)
2. \(60^\circ\)
3. \(72^\circ\)
4. \(90^\circ\)

3) (Radianos) Para \(r=10\ \text{cm}\) e \(\theta=\dfrac{\pi}{9}\), a área do fuso é:

1. \(\dfrac{100\pi}{9}\ \text{cm}^{2}\)
2. \(\dfrac{200\pi}{9}\ \text{cm}^{2}\)
3. \(\dfrac{100\pi}{3}\ \text{cm}^{2}\)
4. \(\dfrac{200\pi}{3}\ \text{cm}^{2}\)

4) Em uma esfera de \(r=6\ \text{m}\), o custo para pintar um fuso de \(\alpha=30^\circ\) é R$ 40,00 por m². O gasto aproximado é:

1. R$ 452,4
2. R$ 565,5
3. R$ 603,2
4. R$ 804,2

5) A fração da área total da esfera ocupada por um fuso de \(\alpha=75^\circ\) é:

1. \( \dfrac{1}{6} \)
2. \( \dfrac{5}{24} \)
3. \( \dfrac{5}{12} \)
4. \( \dfrac{75}{180} \)

6) Um fuso tem a mesma área do hemisfério da mesma esfera. O valor de \(\alpha\) é:

1. \(90^\circ\)
2. \(120^\circ\)
3. \(180^\circ\)
4. \(240^\circ\)

Materiais para continuar estudando (linkagem interna)

• Esfera — elementos, fórmulas de área e volume, propriedades.
• Exercício Esfera — mais listas com passo a passo.
• Corpos redondos — visão geral (cilindro, cone, esfera…).
• Poliedros para comparação: Cubo e Paralelepípedo.

Produtos do blog (para acelerar seus estudos)

• Mapas Mentais de Matemática — revisão visual para provas.
• ENEM Matemática — guia prático de conteúdos e questões.
• Coleção com 10 eBooks — teoria e exercícios comentados.
• Banco de Questões — centenas de itens filtrados por assunto.
• Canais oficiais — novidades, listas e suporte.