Inequações Exponenciais: regras, exemplos resolvidos e exercícios

Uma inequação exponencial é uma desigualdade em que a incógnita aparece no expoente, por exemplo \(3^{x}\!>\!81\) ou \( \left(\tfrac12\right)^{x}\!\leq\!4\). Elas são onipresentes em problemas de crescimento/decrescimento e aparecem no ENEM e em concursos. Revise também as propriedades em Mapas Mentais.

Inequações exponenciais: regras e exemplos passo a passo

Regras fundamentais

Seja \(a>0\), \(a\neq 1\). Para \(a^{x}\) comparado a \(a^{y}\):

Crescente se \(a>1\):
\(a^{x} \; \# \; a^{y} \iff x \; \# \; y\) (o sinal # mantém: \(<, \le, >, \ge\)).
Decrescente se \(0 \(a^{x} \; \# \; a^{y} \iff x \; \tilde{\#} \; y\) (o sinal inverte: \(<\!\leftrightarrow\!>\), \(\le\!\leftrightarrow\!\ge\)).

Estratégia geral de resolução

Reduza ambos os lados a potências de mesma base sempre que possível.
Quando houver termos algébricos, isole e use logaritmos ou substituições (ex.: \(t=a^{x}\)).
Em inequações duplas, quebre em duas e interseccione os conjuntos solução.

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Exemplos resolvidos

1) \(3^{x} < 81\)

\(81=3^{4}\). Como \(a=3>1\) é crescente, mantemos o sinal: \(3^{x}<3^{4}\iff x<4\).

Solução: \(S=\{x\in\mathbb{R}\mid x<4\}\).

2) \(\left(\tfrac12\right)^{x+1} \ge \tfrac14\)

\(\tfrac14=\left(\tfrac12\right)^{2}\). Como \(0inverte o sinal:

\(\left(\tfrac12\right)^{x+1} \ge \left(\tfrac12\right)^{2}\iff x+1 \le 2 \iff x\le 1\).

Solução: \(S=\{x\in\mathbb{R}\mid x\le 1\}\).

3) \(25^{\,x-1}\le 5\left(\tfrac15\right)^{x}\)

Escreva tudo na base \(5\): \(25=5^{2}\), \(\left(\tfrac15\right)^{x}=5^{-x}\).

Fica \(5^{2(x-1)} \le 5\cdot 5^{-x} \iff 5^{2x-2} \le 5^{1-x}\).

Comparando expoentes (base \(>1\)): \(2x-2 \le 1-x \Rightarrow 3x \le 3 \Rightarrow x \le 1\).

Solução: \(S=\{x\le 1\}\).

4) Inequação dupla: \(49^{\,x-1} \left(\tfrac{1}{\sqrt{7}}\right)^{x} < \sqrt{7}\)

Base \(7\): \(49=7^{2}\), \(\tfrac{1}{\sqrt{7}}=7^{-1/2}\), \(\sqrt{7}=7^{1/2}\).

Então \(7^{2(x-1)}\cdot 7^{-x/2} < 7^{1/2} \Rightarrow 7^{\;2x-2 - x/2} < 7^{1/2}\).

Como \(7>1\): \( \tfrac{3}{2}x – 2 < \tfrac{1}{2} \Rightarrow \tfrac{3}{2}x < \tfrac{5}{2} \Rightarrow x < \tfrac{5}{3}\).

Solução: \(S=\{x<\tfrac{5}{3}\}\).

5) Domínio de \(f(x)=\sqrt{\left(\tfrac12\right)^{x}-\sqrt{7}}\)

Para a raiz real: \(\left(\tfrac12\right)^{x}-\sqrt{7}\ge 0 \Rightarrow \left(\tfrac12\right)^{x}\ge \sqrt{7}=7^{1/2}\).

Como \(0<\tfrac12<1\), inverte: \(x\le -\log_{1/2}(7^{1/2})=\log_{2}(7^{1/2})\cdot 1\) (usando mudança de base).

Resposta: \(D(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\le \tfrac12\log_{2}7\}\).

Erros comuns (e como evitar)

Esquecer de inverter o sinal quando a base satisfaz \(0
Comparar expoentes sem antes reduzir para mesma base.
Não checar restrições de domínio ao usar raízes e logaritmos.

Exercícios propostos

\(2^{x+3} \ge 64\)
\(\left(\tfrac13\right)^{2x-1} < 9\)
\(5^{x} – 5\cdot 5^{x/2} \le 0\) (dica: substitua \(t=5^{x/2}\))
\( \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{x} \ge \left(\tfrac12\right)^{x-1}\)
Determine o domínio de \(h(x)=\sqrt{\,\left(\tfrac34\right)^{x}-2\,}\).

Gabarito

1) \(x\ge 3\). 2) \(x> -1\). 3) \(x\in (-\infty,2]\). 4) \(x\le 2\). 5) vazio (não há \(x\) real).

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Conclusão

Resolver inequações exponenciais é aplicar, com disciplina, as regras de monotonicidade da base e as transformações algébricas adequadas. Com prática — e atenção ao sinal — você dominará o tema para provas e aplicações reais.