Inequações quociente \( \dfrac{f(x)}{g(x)} \ \square\ 0 \)
Para resolver inequações do tipo \( \dfrac{f(x)}{g(x)} \ \square\ 0 \) (com \(\square\in\{>,\lt,\ge,\le\}\)), usamos domínio + zeros + quadro do sinal. Evite multiplicar cruzado por \(g(x)\) — o sinal de \(g\) varia e pode inverter a desigualdade. Como apoio, veja também: inequações do 1º grau, inequações produto e sinal da função.
Passo a passo universal
- Domínio: \(g(x)\ne0\). Marque os pontos proibidos (assíntotas/rombos no gráfico).
- Zeros: resolva \(f(x)=0\) (candidatos a “igualdade” quando \(\square\) é \(\ge\) ou \(\le\)).
- Intervalos: coloque em ordem crescente todos os pontos (zeros de \(f\) e zeros de \(g\)).
- Quadro do sinal: decida o sinal do quociente em cada intervalo (teste um ponto; ou use multiplicidades).
- Leia a solução:
- \( \dfrac{f}{g} \gt 0 \) ⇒ sinais iguais; sem incluir zeros;
- \( \dfrac{f}{g} \lt 0 \) ⇒ sinais opostos; sem zeros;
- \( \dfrac{f}{g} \ge 0 \) ou \( \le 0 \) ⇒ inclua zeros de \(f\); nunca inclua zeros de \(g\).
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Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — > 0 com dois lineares. Resolva \( \dfrac{x-3}{x+2} \gt 0 \).
Ver solução
Domínio: \(x\ne -2\). Zeros: numerador \(x=3\). Intervalos: \((-\infty,-2),(-2,3),(3,\infty)\).
Teste: em \(4\) → \(+\); em \(0\) → \(−\); em \(-3\) → \(+\). Para >0: \((-\infty,-2)\cup(3,\infty)\).
Exemplo 2 — ≤ 0 com sinal misto. Resolva \( \dfrac{x+1}{2x-5} \le 0 \).
Ver solução
Domínio: \(x\ne \tfrac{5}{2}\). Zeros: \(x=-1\). Sinais: \(x>2{,}5\) ⇒ \(+\); \(-1<x<2{,}5\) ⇒ \(−\); \(x<-1\) ⇒ \(+\). Com ≤ 0, inclua o zero do numerador: \([ -1,\ 2{,}5 )\).
Exemplo 3 — ≥ 0 com dois polos. Resolva \( \dfrac{x-4}{(x-1)(x+2)} \ge 0 \).
Ver solução
Domínio: \(x\ne -2,1\). Zeros: \(x=4\). Intervais testados: \(x>4\Rightarrow +\); \(1<x<4\Rightarrow −\); \(-2<x<1\Rightarrow +\); \(x<-2\Rightarrow −\). Com ≥0: \((-2,1)\cup[4,\infty)\).
Exemplo 4 — Valor absoluto. Resolva \( \left|\dfrac{x-3}{x+1}\right| < 2 \).
Ver solução
\(|A|<2 \Rightarrow A^2<4\). Logo \( \dfrac{(x-3)^2}{(x+1)^2} < 4 \Rightarrow (x-3)^2 - 4(x+1)^2 < 0\).
Simplificando: \(-3x^2 -14x +5 < 0 \Rightarrow 3x^2 +14x -5 > 0\). Raízes: \(-5\) e \(1/3\). Como a parábola abre para cima, \( >0 \) fora do intervalo: \((-\infty,-5)\cup\left(\tfrac{1}{3},\infty\right)\). Domínio \(x\ne -1\) (já fora da solução).
Exemplo 5 — Quadrático sobre linear (≤ 0). Resolva \( \dfrac{x^2-9}{x-2} \le 0 \).
Ver solução
Fatorando: \( \dfrac{(x-3)(x+3)}{x-2} \le 0 \). Pontos: \(-3,2,3\) (com \(2\) fora do domínio).
Teste: \(x>3\Rightarrow +\); \(2<x<3\Rightarrow −\); \(-3<x<2\Rightarrow +\); \(x<-3\Rightarrow −\). Com ≤0: \((-\infty,-3] \cup (2,3]\).
Resumo rápido (quando o numerador e o denominador são contínuos entre os marcos)
| Alvo | O que pegar | Sobre os zeros |
|---|---|---|
| \(\dfrac{f}{g} > 0\) | Intervalos com sinais iguais | Excluir zeros de \(f\) e de \(g\) |
| \(\dfrac{f}{g} < 0\) | Intervalos com sinais opostos | Excluir zeros de \(f\) e de \(g\) |
| \(\dfrac{f}{g} \ge 0\) | Iguais + zeros | Incluir zeros de \(f\); excluir zeros de \(g\) |
| \(\dfrac{f}{g} \le 0\) | Opostos + zeros | Incluir zeros de \(f\); excluir zeros de \(g\) |
Exercícios propostos (com gabarito)
1) Resolva \( \dfrac{x-1}{x+4} \ge 0 \).
Gabarito
Domínio: \(x\ne-4\). Zeros: \(x=1\). Sinais: \(x<-4\Rightarrow +\); \(-4<x<1\Rightarrow −\); \(x>1\Rightarrow +\). Resposta: \((-\infty,-4)\cup[1,\infty)\).
2) Resolva \( \dfrac{2x+3}{x-5} < 0 \).
Gabarito
Domínio: \(x\ne5\). Zero: \(x=-\tfrac{3}{2}\). Sinais: negativo em \((-3/2,5)\). Solução: \(\left(-\tfrac{3}{2},5\right)\).
3) Resolva \( \dfrac{(x-2)^2}{x+1} \le 0 \).
Gabarito
Numerador ≥0 e zera em \(x=2\). O quociente ≤0 ocorre quando o denominador é negativo ou quando o numerador é zero. Logo: \(x<-1\) (negativo) ou \(x=2\). Resposta: \((-\infty,-1)\cup\{2\}\).
4) Resolva \( \left|\dfrac{x+2}{x-1}\right| \ge 3 \).
Gabarito
\(|A|\ge3 \Rightarrow A\le -3 \ \text{ou}\ A\ge 3\). Monte duas quocientes: \(\dfrac{x+2}{x-1}\le-3\) e \(\dfrac{x+2}{x-1}\ge3\). Resultado final: \((-\infty,-\tfrac{1}{2}] \cup \left(1,\ \tfrac{5}{2}\right] \cup [\tfrac{5}{2},\infty)\) = \((-\infty,-\tfrac{1}{2}] \cup (1,\infty)\) (exclui \(x=1\)).
5) Resolva \( \dfrac{x^2-4x}{x^2-1} > 0 \).
Gabarito
Fatore: \(\dfrac{x(x-4)}{(x-1)(x+1)}\). Pontos: \(-1,0,1,4\) com \(\pm1\) fora do domínio. Sinais alternando a partir de \(x\to+\infty\) (positivo): solução para >0 é \((-\infty,-1)\cup(0,1)\cup(4,\infty)\).
