Integrais Duplas

Cálculo II – Integrais Duplas e Aplicações

Integrais Duplas e Aplicações

Bem-vindos à revisão de Cálculo II, disciplina fundamental para cursos de Licenciatura em Física e Matemática. Nesta aula, exploramos um dos conceitos mais importantes do cálculo multivariável: a integral dupla, sua interpretação geométrica e aplicações práticas, como o cálculo de volumes, centros de massa e momentos de inércia.

O que é uma Integral Dupla?

A integral dupla de uma função \(f(x, y)\) em uma região \(D\) do plano é escrita como:

\(\iint_D f(x, y)\, dA\)

A interpretação geométrica é clara: essa integral representa o volume abaixo da superfície \(z = f(x, y)\) e acima da região \(D\) do plano \(xy\).

Teorema de Fubini

Para calcular integrais duplas, utilizamos o Teorema de Fubini, que transforma a integral em duas integrais iteradas:

\(\iint_D f(x, y)\, dA = \int_a^b \int_c^d f(x, y)\, dy\, dx\)

Ou invertendo a ordem:

\(\iint_D f(x, y)\, dA = \int_c^d \int_a^b f(x, y)\, dx\, dy\)

A ordem de integração depende do domínio \(D\) e da função \(f(x,y)\).

Exemplo 1 – Volume sob um “Telhado Seno”

Problema: Calcular o volume sob a superfície \(f(x, y) = 5 + \sin x\), com \(0 \leq x \leq \pi\) e \(0 \leq y \leq 3\).

Solução:

Aplicando Fubini:

\(\iint_D (5 + \sin x)\, dA = \int_0^{\pi} \int_0^3 (5 + \sin x)\, dy\, dx\)

Como \(5 + \sin x\) não depende de \(y\):

\(\int_0^3 (5 + \sin x)\, dy = 3 (5 + \sin x)\)

Logo:

\(\int_0^{\pi} [15 + 3 \sin x]\, dx = 15x – 3 \cos x \Big|_0^{\pi}\)

Calculando:

\(15 \pi – 3(\cos \pi – \cos 0) = 15 \pi – 3(-1 – 1) = 15 \pi + 6\)

Resposta: \(V = 15 \pi + 6\).

Exemplo 2 – Volume com Coordenadas Polares

Problema: Calcular o volume sob a superfície \(z = 9 – x^2 – y^2\) sobre o disco \(x^2 + y^2 \leq 4\).

Em coordenadas polares:

\(x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta, \quad dA = r\, dr\, d\theta\)

A integral fica:

\(\int_0^{2\pi} \int_0^2 (9 – r^2)\, r\, dr\, d\theta\)

Integrando em \(r\):

\(\int_0^2 (9r – r^3) dr = \frac{9 r^2}{2} – \frac{r^4}{4} \Big|_0^2 = 18 – 4 = 14\)

Logo:

\(\int_0^{2\pi} 14\, d\theta = 14 (2 \pi) = 28 \pi\)

Resposta: \(V = 28 \pi\).

Centro de Massa

O centro de massa \((\bar{x}, \bar{y})\) de uma região \(D\) com densidade \(\rho(x,y)\) é dado por:

\(\bar{x} = \frac{M_y}{M}, \quad \bar{y} = \frac{M_x}{M}\)

onde:

\(M = \iint_D \rho(x, y)\, dA, \quad M_x = \iint_D y \rho(x, y)\, dA, \quad M_y = \iint_D x \rho(x, y)\, dA\)

Exemplo 3 – Centro de Gravidade

Considere a coroa circular \(1 \leq x^2 + y^2 \leq 4\) no primeiro quadrante, com densidade \(\rho(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}\).

Convertendo para polares:

\(\rho = r, \quad 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, \quad 1 \leq r \leq 2\)

A massa é:

\(M = \int_0^{\pi/2} \int_1^{2} r \cdot r \, dr \, d\theta = \int_0^{\pi/2} \int_1^{2} r^2 \, dr \, d\theta = \frac{7 \pi}{6}\)

O momento \(M_y\):

\(M_y = \int_0^{\pi/2} \int_1^{2} r \cdot (r \cos \theta) \cdot r \, dr \, d\theta = \frac{15}{4}\)

Portanto:

\(\bar{x} = \bar{y} = \frac{M_y}{M} = \frac{15/4}{7 \pi / 6} = \frac{45}{14 \pi}\)

Momento de Inércia

O momento de inércia em relação à origem é:

\(I_0 = \iint_D \rho(x, y) (x^2 + y^2)\, dA\)

No caso da coroa circular:

\(I_0 = \int_0^{\pi/2} \int_1^{2} r (r^2) r\, dr \, d\theta = \frac{31 \pi}{10}\)

Conclusão

As integrais duplas são ferramentas poderosas para calcular volumes, áreas, centros de massa e momentos de inércia. O uso de coordenadas polares facilita muito os cálculos quando a região de integração tem simetria circular.

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