Conjuntos Numéricos · Intervalos Reais

Intervalos Reais: guia visual, notação e exercícios

Entenda a notação aberta [ ] / ( ), a leitura na reta, como fazer união e interseção e treine com exercícios comentados.

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Intervalos Reais — guia visual com correspondência entre desigualdades, notação de intervalos e reta real — matematicahoje.blog — Quadro-resumo: como escrever e interpretar intervalos reais na prática.

O que são intervalos reais?

Um intervalo real é um subconjunto de ℝ que contém todos os números entre dois limites (que podem ser finitos ou infinitos). Esses limites podem estar inclusos ou exclusos no conjunto.

\[ \begin{aligned} (a,b) &= \{\, x \in \mathbb{R} \mid a \lt x \lt b \,\},\\ [a,b] &= \{\, x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b \,\},\\ [a,b) &= \{\, x \in \mathbb{R} \mid a \le x \lt b \,\},\\ (a,b] &= \{\, x \in \mathbb{R} \mid a \lt x \le b \,\},\\[2pt] (-\infty,a) &= \{\, x \in \mathbb{R} \mid x \lt a \,\},\quad (-\infty,a] = \{\, x \in \mathbb{R} \mid x \le a \,\},\\ (a,+\infty) &= \{\, x \in \mathbb{R} \mid x \gt a \,\},\quad [a,+\infty) = \{\, x \in \mathbb{R} \mid x \ge a \,\}. \end{aligned} \]

Leitura gráfica: ponto aberto ⇢ extremo não pertence; ponto fechado ⇢ extremo pertence. Seta indica prolongamento para ±∞.

Correspondência: desigualdade ↔ intervalo

Desigualdades simples

\(x\lt a\) ⟶ \((-\infty,a)\)
\(x\le a\) ⟶ \((-\infty,a]\)
\(x\gt a\) ⟶ \((a,+\infty)\)
\(x\ge a\) ⟶ \([a,+\infty)\)

Duplas (faixas)

\(a\lt x\lt b\) ⟶ \((a,b)\)
\(a\le x\lt b\) ⟶ \([a,b)\)
\(a\lt x\le b\) ⟶ \((a,b]\)
\(a\le x\le b\) ⟶ \([a,b]\)

Operações com intervalos

União \(A\cup B\)

Reúne os elementos que estão em \(A\) ou em \(B\). Ex.: \((-\infty,2]\cup[5,+\infty)\).

Interseção \(A\cap B\)

Fica somente a parte “em comum”. Ex.: \((1,6)\cap[4,10)=[4,6)\).

Dica ENEM: domínio e imagem de funções geralmente são descritos por intervalos. Revise ENEM Matemática.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Escreva em notação de intervalo: \(x\le 3\)

Resposta: \((-\infty,3]\).

Leitura: todos os reais até 3, incluindo o 3.

Exemplo 2 — Passe para desigualdade: \([2,7)\)

Resposta: \(2\le x\lt 7\).

Leitura: do 2 (incluso) até valores menores que 7.

Exemplo 3 — Interseção: \((-\infty,5]\cap[2,+\infty)\)

Resposta: \([2,5]\).

Fica a faixa simultânea: de 2 a 5, incluindo os extremos.

Exemplo 4 — União: \((-\infty,-1)\cup[4,+\infty)\)

Resposta: dois blocos disjuntos: valores menores que −1 ou maiores/iguais a 4.

Exercícios propostos

Escreva em notação de intervalo:
a) \(x\gt -3\) b) \(x\ge 0\) c) \(-2\le x\lt 5\)

👀 Ver solução
a) \((-3,+\infty)\)
b) \([0,+\infty)\)
c) \([-2,5)\)
Converta para desigualdade:
a) \((1,4]\) b) \([-\!5,+\infty)\) c) \((-\infty,7)\)

👀 Ver solução
a) \(1\lt x\le 4\)
b) \(x\ge -5\)
c) \(x\lt 7\)
(Múltipla escolha) A interseção de \((-\infty,3]\) com \([1,+\infty)\) é:
A) \((1,3)\) B) \([1,3]\) C) \((-\infty,1]\) D) \([3,+\infty)\)

👀 Ver solução
Gabarito: B. Faixa comum: de 1 a 3, ambos inclusos.
(Múltipla escolha) A união de \([0,2)\) com \((1,5]\) é:
A) \([0,5]\) B) \([0,5)\) C) \((0,5]\) D) \([0,1]\cup(1,5]\)

👀 Ver solução
Gabarito: A. A sobreposição cobre toda a faixa de 0 até 5, incluindo 5.
Determine o domínio de \(f(x)=\sqrt{5-x}\).

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Precisamos de \(5-x\ge 0 \Rightarrow x\le 5\).
Domínio: \((-\infty,5]\).
Determine o domínio de \(g(x)=\dfrac{1}{x-3}\).

👀 Ver solução
Denominador \(\neq 0\Rightarrow x\neq 3\).
Domínio: \((-\infty,3)\cup(3,+\infty)\).