Intervalos Reais: guia visual, notação e exercícios
Entenda a notação aberta [ ] / ( ), a leitura na reta, como fazer união e interseção e treine com exercícios comentados.
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O que são intervalos reais?
Um intervalo real é um subconjunto de ℝ que contém todos os números entre dois limites (que podem ser finitos ou infinitos). Esses limites podem estar inclusos ou exclusos no conjunto.
Leitura gráfica: ponto aberto ⇢ extremo não pertence; ponto fechado ⇢ extremo pertence. Seta indica prolongamento para ±∞.
Correspondência: desigualdade ↔ intervalo
- \(x\lt a\) ⟶ \((-\infty,a)\)
- \(x\le a\) ⟶ \((-\infty,a]\)
- \(x\gt a\) ⟶ \((a,+\infty)\)
- \(x\ge a\) ⟶ \([a,+\infty)\)
- \(a\lt x\lt b\) ⟶ \((a,b)\)
- \(a\le x\lt b\) ⟶ \([a,b)\)
- \(a\lt x\le b\) ⟶ \((a,b]\)
- \(a\le x\le b\) ⟶ \([a,b]\)
Operações com intervalos
Reúne os elementos que estão em \(A\) ou em \(B\). Ex.: \((-\infty,2]\cup[5,+\infty)\).
Fica somente a parte “em comum”. Ex.: \((1,6)\cap[4,10)=[4,6)\).
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Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Escreva em notação de intervalo: \(x\le 3\)
Resposta: \((-\infty,3]\).
Leitura: todos os reais até 3, incluindo o 3.
Exemplo 2 — Passe para desigualdade: \([2,7)\)
Resposta: \(2\le x\lt 7\).
Leitura: do 2 (incluso) até valores menores que 7.
Exemplo 3 — Interseção: \((-\infty,5]\cap[2,+\infty)\)
Resposta: \([2,5]\).
Fica a faixa simultânea: de 2 a 5, incluindo os extremos.
Exemplo 4 — União: \((-\infty,-1)\cup[4,+\infty)\)
Resposta: dois blocos disjuntos: valores menores que −1 ou maiores/iguais a 4.
Exercícios propostos
-
Escreva em notação de intervalo:
a) \(x\gt -3\) b) \(x\ge 0\) c) \(-2\le x\lt 5\)
👀 Ver solução
a) \((-3,+\infty)\)
b) \([0,+\infty)\)
c) \([-2,5)\) -
Converta para desigualdade:
a) \((1,4]\) b) \([-\!5,+\infty)\) c) \((-\infty,7)\)
👀 Ver solução
a) \(1\lt x\le 4\)
b) \(x\ge -5\)
c) \(x\lt 7\) -
(Múltipla escolha) A interseção de \((-\infty,3]\) com \([1,+\infty)\) é:
A) \((1,3)\) B) \([1,3]\) C) \((-\infty,1]\) D) \([3,+\infty)\)
👀 Ver solução
Gabarito: B. Faixa comum: de 1 a 3, ambos inclusos. -
(Múltipla escolha) A união de \([0,2)\) com \((1,5]\) é:
A) \([0,5]\) B) \([0,5)\) C) \((0,5]\) D) \([0,1]\cup(1,5]\)
👀 Ver solução
Gabarito: A. A sobreposição cobre toda a faixa de 0 até 5, incluindo 5. -
Determine o domínio de \(f(x)=\sqrt{5-x}\).
👀 Ver solução
Precisamos de \(5-x\ge 0 \Rightarrow x\le 5\).
Domínio: \((-\infty,5]\). -
Determine o domínio de \(g(x)=\dfrac{1}{x-3}\).
👀 Ver solução
Denominador \(\neq 0\Rightarrow x\neq 3\).
Domínio: \((-\infty,3)\cup(3,+\infty)\).
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